Como resolver ecuaciones diferenciales para problemas de mezclas
Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera.
Se parte de: (dx/dt) + (( [Q2*x(t)] / {Vo+ [(Q1-Q2)t]} )) = Q1C1
Siendo x la cantidad de soluto, Q1 la razón de entrada, Q2 la de salida, C1 la concentración de entrada. Vo el volumen inicial en la cuba.
Sustituyanos en la fórmula dada con los datos:
(dx/dt) + [10 (l/min)x(t)] / {500l + [(8-10)(l/min)]*t} = 8 (l/min) * 5 (g/l);
Observemos que: 500 l + [(8-10)(l/min)]*t, simplemente es el volumen de la cuba para cualquier t; es únicamente V0 + (la entrada - la salida multiplicados por el tiempo). Si quisieras la ED de la variación del volumen en la cuba es una simple recta: dV/dt = Vi-V0; resuelta: V(t) = (Vi-Vo)t + Vo.
Por otro lado: A1*C1 es la razón de entrada del soluto: observa que sustituimos con 40 g/min.
La ED toda es la derivación de x(t) = xin(t) - xout(t) + x0; que se reacomodó como: x(t) + xout(t) = xin(t) + x0; que al derivar desaparecerá x0 por ser una constante, y dx/dt nos modela una "variación" de x respecto al tiempo.
(dx/dt) + [10 (l/min)x(t)] / {500l + [(-2)(l/min)]*t} = 40 (g/min);
Es una ED lineal de primer grado, por lo que hallamos el Factor integrante:
µ = e^10*∫ dt/ (500-2t);
µ = e^(-5) ln |500 - 2t|;
µ = e^ ln|500-2t|^(-5);
µ = (500-2t)^(-5)
d x/(500-2t)^5 = 40 * (500-2t)^(-5) * dt; integro ambos lados:
x/(500-2t)^5 = 40 * (-1/4) * (-1/2) * (500-2t)^(-4) * + A; (A=Cte)
x/(5'00-2t)^5 = 5 * (500-2t)^(-4) + A;
x(t) = 5(500-2t) + A(500-2t)^5; expresado en g, y t en minutos.
Para la concentración a cualquier tiempo, simplemente dividimos este resultado por el volumen para cualquier tiempo:
C(t) = x(t) / [500l + (8l/min - 10 l/min)*t]; o:
C(t) = x(t) / {500l - [(2l/min)*t]}; expresado en g/l.
Tener en cuenta que esta ED es válida para t<250min, porque cuando t=250min, el volumen contenido en la cuba es=0, la cantidad de sal también es 0 y queda una indefinición C(250min) = 0/0. A partir de allí entra y sale 8 l/min con 5 g/l de sal en forma constante.
