Necesito que me ayudes con una duda acerca de exponeciales

Supongamos que "cada 10 horas crece al doble".

Cuando haya 2 elementos, en 10 horas habrá 2 más= 4;

Cuando hayan 100 elementos, en 10 horas habrá 100 más=200.

Cuando 500 elementos, en 10 horas 500 más=1000.

Como ves, el resultado final, cada 10 horas está relacionado con el número inicial de elementos (en este caso, multiplicado por 2).

Pasemos esto a una ED:

dN/10 horas = 2*N;  

Siendo N el número de elementos al inicio del conteo de las 10 horas (y 10 horas la variación constante de tiempo: dt) y 2 la constante de multiplicación (r en tu ejemplo)

dN/dt = rN;  

Resolvemos por variables separables:

dN/N = r*dt;  integro a ambos lados:

ln|N| = r*t + C;  

N(t) = e^(rt + C);  o:  

N(t) = e^rt * e^C;  

pero puedo hacer e^C=A, que también es una constante:

N(t) = A*e^(rt);  

Observamos que si t=0:  N(0) = A*e^0;  o:  N(0) = A*1;  es decir que:

A es la cantidad de elementos al inicio del conteo.