Variable aleatoria normal estándar y valor esperado
Si Z es una variable aleatoria normal estandar, Y1=Z , Y2=Z^2 Calcular:
E(Y1) ; E(Y2) ; E(Y1 Y2) ; Cov (Y1 Y2)
1 Respuesta
E(Y1) = E(Z) =0
E(Y2)= E(Z^2) y como Z es normal standard y una normal standard al cuadrado es una chi cuadrado con 1 grado de libertad, tenemos que E(Y2)= los grados de libertad de la chi=1
E(Y1*Y2)= E(Z^3). Ademas la funcion generadora de momentos de una normal 0 1 es M(t)= e^(t^2/2).
Tambien sabemos que la E(Z^3)= derivada tercera de la funcion generatriz evaluada en 0. Entonces;
E(Z^3)= derivada tercera de e^(t^2/2) en 0.
La primera derivada es t*e^(t^2/2)
La segunda derivada es e^(t^2/2)+t^2*e^(t^2/2)=(1+t^2)*e^(t^2/2)
La tercera derivada es 2*t*e^(t^2/2)+(1+t^2)*t*e^(t^2/2)=(3+t^2)*t*e^(t^2/2) que evaluado en 0 vale 0.
Por tanto la E(Y1*Y2)=0
Ademas la covarianza de Y1 e Y2 es la E(Y1*Y2)-E(Y1)*E(Y2)=0
De hecho la media de Y1 se puede calcular con la primera derivada de la función generatriz de Z y la media de Y2 se puede calcular con la derivada segunda de la función generatriz de Z
