Determine en que intervalos de la función

Para ver crecimiento y decrecimiento calculamos primera derivada;

f'(x)=x^2+x-12.

La expresamos en producto de monomios.

Las raices son x= (-1+7)/2 y (-1-7)/2

Es decir x=3 x=-4.

Entonces f'(x)=(x-3)*(x+4).

Tenemos 3 zonas.

Para los x<-4 -> f'(x)>0 luefo f es creciente

Para los x comprendidos entre -4 y 3 -> f'(x)<0 luego f es decreciente

Para los x>3 -> f'(x)>0 luego f es creciente.

Ademas de todo esto.se deduce que en x=-4 hay un maximo relativo pq antes crece y despues decrece. Si primero subes y luego bajas es pq hay una cumbre es decir un maximo.El valor del maximo es f(-4).

Y en x=3 hay un minimo relativo pq antes decrece y luego crece.El valor del minimo es f(3).

Para hallar los extremos relativos hay que hallar la derivada primera, para ver si es máximo o mínimo hay dos maneras, puedes ver a ambos lados de la función como se comporta o puedes hallar la derivada segunda y ver el signo en el punto en cuestión. Por ser un polinomio (fácil de derivar), voy a usar el segundo método

$$\begin{align}&f(x)= \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-12x+4\\&f'(x)=x^2+x-12\\&f''(x)=2x+1\\&f'(x)=0 = x^2+x-12\\&x_1=3\\&x_2=-4\\&f''(3)=2\cdot 3 + 1 = 7 >0 \to mínimo\\&f''(-4)=2\cdot(-4)+1=-7<0 \to máximo\end{align}$$

Salu2