Derivada parcial de segundo orden

d2f/dx^2 equivale a: derivamos respecto a "x" y después volvemos a derivar con respecto a "x". Todas las demá variables diferentes de "x" se consideran constantes (y se considera una constante)

d2f/dy^2  equivale a: derivamos respecto a "y" y después volvemos a derivar con respecto a "y". Todas las demá variables diferentes de "y" se consideran constantes (x se considera una constante)

d2f/dxdy equivale a derivar primero con respecto a "x" (y se considera una constante) y después derivar con respecto a "y" (x se considera constante).

Resolvamos:

 d2f/dx^2     f(x,y) = (x^2+y^2)^0.5

df/dx = 0.5(x^2+y^2)^(0.5-1)*(x^2+y^2)' = 0.5(x^2+y^2)^(-0.5)*(2x) = x*(x^2+y^2)^(-0.5)

df/dx = (x^-2)^-0.5*(x^2+y^2)^(-0.5) = [(x^-2)(x^2+y^2)]^-0.5

df/dx = [1+y^2(x^-2)]^-0.5

volvemos a derivar: d2f/dx2 = (-0.5) [1+y^2(x^-2)]^(-0.5-1)*(-2y^2*x^-3) = (-0.5) [1+y^2(x^-2)]^(-1.5)*(-2y^2*x^-3)

d2f/dx2= [1+y^2(x^-2)]^(-1.5)*(y^2*x^-3) análogamente se hace para los demás casos

Excelente respuesta de Carlos Antonio, sólo referiré otra manera de resolverlo, menos habitual, que sólo encontré en el libro de Granville.

Llamemos a f(x; y)=z;    z = √(x^2+y^2);

dz/dx = (1/2z) * 2x;  

z ' (x) o dz/dx = x/z;

d2z/dx^2 = {z - [xz' ] } / z^2;

d2z/dx^2 = {z - [x(x/z) ] } / z^2;  o:   [(z^2 - x^2) / z] / z^2;

d2z/dx^2 = (z^2-x^2) / z^3;

Lo mismo para:  

dz/dy = y/z;

d2z/dy^2 = (z^2- y^2) / z^3

Esta forma resulta más práctica para cuando tenemos tablas de valores (x; y; z).