Encuentra la solución general a las siguientes ecuaciones diferenciales

1. Dy/dx=2(y/x)+(y/x)^3;  u=y/x;  y=ux;  dy=xdu + udx;  reemplazo:

(xdu + udx) / dx = 2u + u^3;  

x(du/dx)  + u = 2u + u^3;

x(du/dx)= u + u^3;

du/(u+u^3) = dx/x;  

du/ [u(1+u^2)] = dx/x

A la izquierda:  CDV:   s = 1+u^2;  ds=2u*du;  du=ds/2u;  además:  u^2= s-1;  reemplazo:

ds/ 2u^2;  o:  ds/2(s-1);

(1/2) ∫ ds/(s-1) = ∫ dx/x;

(1/2) ln |s-1| = ln |x| + C;  devuelvo variable:

(1/2) ln |1+u^2 - 1| = ln |x| + C;  hagamos C=lnA, que también es una constante:

ln |u| = ln |x| + lnA

###  u = Ax

Dy/dx+xy=1+x;  dy/dx = 1+x-xy;

dy/dx = 1+ x(1-y);   CDV:  t=1-y;  dt=-dy;  

- (dt/dx) = 1+tx;  o:  dt/dx = -1-tx;

dt/dx + tx = -1;  ED lineal:

µ = e^ ∫ x*dx;  µ = e^(1/2) x^2;  µ = (1/2) e^(x^2);

d t [(1/2)e^(x^2)] = -(1/2) e^(x^2) dx;  integro:

(***) t*[(1/2)e^(x^2)] = -(1/2) ∫ e^(x^2) dx.

Para la integral de la derecha partimos de:

∫ 2xe^(x^2);  

u=e^(x^2);  du= 2x*e^(x^2)*dx;

v= 1/2x;  dv= (1/2) ln |x|*dx;

∫ 2xe^(x^2) = [e^(x^2) / 2x] - {∫ [2x*e^(x^2)*dx] / 2x};

∫ 2xe^(x^2) = [e^(x^2) / 2x] - ∫ e^(x^2)*dx;

∫ e^(x^2)*dx = [e^(x^2) / 2x] - ∫ 2xe^(x^2);   integro a la derecha:

∫ e^(x^2)*dx = [e^(x^2) / 2x] - e^(x^2) + C;  Reemplazo en (***):

t * [(1/2)e^(x^2)] = -(1/2)*{[e^(x^2) / 2x] - e^(x^2) + C} ;

t * e^(x^2)] = - {[e^(x^2) / 2x] - e^(x^2)+ C}; 

t = - {[1/ (2x)] - 1}; 

t = 1 - (1/2x) + [C/e^(x^2)]

Errores en mi respuesta: 1) A partir de:

A la izquierda:  CDV:   s = 1+u^2;  ds=2u*du;  du=ds/2u;  además:  u^2= s-1;  reemplazo:

ds/(2u*u*s);  ds/2u^2*s;  (1/2) ds/(s-1)s;

Fracciones parciales:  1/ [s(s-1)] = A/s + B/(s-1);  sumo y simplifico:

1= A(s-1) + Bs;

1= -A+0;  A=(-1);  para s=0;

1=0A + B;  B=1;  para s=1;

∫ [(-1/s) + 1/(s-1)]ds;

- ln|s| + ln|s-1|;  devuelvo variable:

-ln|1+u^2| + ln|u^2|;

ln |u^2/(1+u^2)|;  igualo a dx/x integrado:

ln |u^2/(1+u^2)| = ln |x| + C;  hago C=lnA;

ln |u^2/(1+u^2)| = ln |Ax|; 

u^2/(1+u^2) = Ax