Hallar los puntos críticos por medio de Multiplicador Lagrange

Quién me puede colaborar con la solución de este ejercicio.

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Respuesta
2

f(x;y)=z = x^2 + 4y^2 +6;  Restricción=r: 2x-8y-20=0;

Los puntos críticos son aquellos donde z y r tienen puntos de tangencia, y por ende comparte la misma recta sus vectores normales; por ende sus derivadas parciales serán proporcionales (al usar el Lagrangiano, la proporción es λ.

Entonces:  Dz=D λr;  o, como lo usaremos:  0=Dz- D λr.  

(Existen otras notaciones como: L(x;y;z)=z - λr, que al tomar derivadas parciales hacen 0 a la expresión de la izquierda, y se llega a lo mismo; también otros, que toman las dos derivadas parciales de z y a r, terminando en lo mismo: tres incógnitas, tres ecuaciones).

Derivemos 0=Dz- D λr.

∂z/∂x= 2x - 2λ;  igualado a 0 para optimizar:  x=λ

∂z/∂y= 8y + 8λ;  igualado a 0:  y=-λ;  que al igualar en con la anterior:  x=-y.

∂/∂λ= 2x-8y-20;  igualado a 0:  2x=20+8y;  reemplazando:  2x=20-8x;  x=2;

Queda entonces:  x=2; y=-2;  

z=4+16+6;  z=26, 

El punto solicitado es:  (2; -2; 26)

Faltó si es máximo o mínimo. Hagamos las segundas derivadas:

∂z/∂x= 2x - 2λ;   ∂2z/∂x^2= 2;  ∂z/∂xy= 0

∂z/∂y= 8y + 8λ;  ∂2z/∂y^2= 8;  ∂z/∂yx= 0;

La matriz queda:  2 ###0

                             0 ###8;  

El determinante:  (2*8) - (0*0) = 8;  valor positivo:

Mínimo.

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