Demuestra que y1=√x, y2=1/x, son soluciones de la ecuación diferencial

2x2y''+3xy'-y=0;  ED de Cauchi-Euler.  Su resolución es y=x^r;  con x>0.

y'=rx^(r-1);  y " = r(r-1)x^(r-2),  Reemplazo en la original:

2x^2*r(r-1)x^(r-2) + 3xrx^(r-1) - x^r = 0;  multiplico todo lo posible:

2r^2-2r *x^r + 3r*x^r - x^r = 0; factorizo:

x^r * (2r^2+r-1)=0;  hallo los valores de r con Baskara:

[-1+-√(1+8)]/4;  (-1+-3)/4;  r=1/2;  r=-1.

y=C1x^(1/2) + C2x^(-1);  tal cual tus propuestas.

Podemos analizar la dependencia lineal con el Wronskiano:

√x ####1/x

1/2√x #### -1/x^2

W=-√x/x^2 - 1/2x√x;  o:  -1/x^(3/2) - 1/2x^(3/2);

W= - 3/[2*x^(3/2)];  que al ser distinto de 0 nos muestra independencia lineal.

z1= y1 + y2 y z2= y1 - y2;  Calculamos el Wronskiano:

(y1+y2) ####  (y1-y2)

y1' + y2' ####  (y1' - y2')

W= (y1y1' + y2y1' -y1y2' - y2y2') - (y1y1' - y1y2' - y1y2' - y2y2');

W= y2y1' + y1y2';  que es igual a:  W= (y1*y2) ';  que es diferente de 0, por ende, linealmente independientes.