¿Sobre criterios de segunda derivada?
Un deposito cilíndrico con un volumen de 0,8m^3 se diseño de tal forma que su base es de cobre y el reto de aluminio delgado. Si el costo del aluminio es $15, 000 el m^2 y el de cobre $40.000 el m^2 sobre hallar la dimensiones del deposito más económico
1 Respuesta
Debemos optimizar el costo (C):
Superficie exterior de un cilindro= 2 tapas + lateral;
S= 2*(π*r^2) + 2πrh; que puedo subdividir: S= (π*r^2) + (π*r^2) + 2πrh, y reagrupar como: S= (π*r^2) + [(π*r^2) + 2πrh];
Por los costos de cada sector (cobre; aluminio):
(##) C = 40000*(π*r^2) + 15000*[(π*r^2)+ 2πrh];
Como V = π*r^2*h; con V=0.8 m^3:
0.8 = π*r^2*h; despejo h:
h = 0.8/(π*r^2); reemplazo en (##):
C = 40000*(π*r^2) + 15000*{(π*r^2)+ [2πr*0.8/(π*r^2)]};
C = 40000*(π*r^2) + 15000*[(π*r^2)+ (1.6/r)];
Optimizo Costo en función de r, derivando dC/dr:
C ' (r) = 80000πr + 15000*[2πr - (1.6/r^2)]; opero:
0 = 80000πr + 30000πr - 24000/r^2; igualo a 0:
110000πr = 24000/r^2; despejo r:
r^3 = 24000/11000π;
r^3 = 24/11π;
r= ∛ (24/11π);
#### r = 0.88557 m
Reemplazo en: h = 0.8/(π*r^2);
h = 0.3247 m
Aplico criterio de segunda derivada para demostrar que es un mínimo:
C ' (r) = 80000πr + 30000πr - 24000/r^2;
C " (r) = 110000π + 48000r/r^4;
C " (r) = 110000π + 48000/r^3;
Compruebo con r= 0.88557 m:
C " (r) = 110000π + 48000*11*π/24
C " (r) = 11000π * (10+ 2);
C " (r) = 11000π * 12; que es un resultado positivo, entonces es un mínimo.
