¿Como hallar el volumen con una intregada?

Supongo que no se refiere a g(x)=1 sino a x=1.  Si fuera g(x) = 1, coincidiría con el eje de giro y=1.

Si hacemos girar alrededor de y=1, g(x)=1, podemos equiparar a:

f(x) = 2-x^2-1;  f(x)=1-x^2, girando alrededor del eje x;  además, x=1 es el límite derecho, por lo que no incide en el cálculo.

Los límites de integración coinciden con los cruces al eje x:  1-x^2=0;

x=+-1.

Razonemos el método de discos:

Tomemos una "feta" del sólido de revolución (Volumen del cilindro=πr^2h), que equivale a un cilindro diferencial de V=dV; r=f(x);  h=dx

dV= π[f(x)]^2 * dx;

dV=π * (1-2x^2+x^4) * dx;  

Para hallar el volumen de todo el sólido, integramos entre los límites (como es simétrico, usemos la mitad derecha y luego la multiplicamos por 2):

Indefinida: π * [x - (2/3)x^3 + (1/5)x^5];

Para x=1: π * [1-(2/3) + (1/5)] = π * (15-10+3)/15= (8/15)π:

Para x=0:  0;  por lo que al restar queda:  (8/15)π; 

Si multiplicamos por 2 para obtener el sólido completo:

### (16/15)π unidades^3.

Si hubiéramos integrado desde (-1 a 1) directamente:

Para x=(-1): π [-1+(2/3) - (1/5)];  (-15+10-3)/15;  π(-8/15);  

Al restar:  π(8/15) - π(-8/15) = (16/15)π;  mismo resultado obviamente.