Hallar la ecuación diferencial de la familia de circunferencia con centro en el eje de ordenadas

Primero, tu familia de curvas a analizar es y^2 + x^2 = r^2, porque son circunferencias con centro en el origen, y radio r como constante arbitraria, así que define una familia. Ahora, necesitás encontrar una ED cuya solución sea esa familia de curvas, por lo que no es mala idea derivar, ¿no? Derivamos implícitamente respecto a x y nos queda: 2y*y' + 2x = 0, la cual es una EDO (Ecuación Diferencial Ordinaria) de variables separables cuya solución es tu familia de circunferencias. ¿Probamos? Pasas el 2x restando y cancelás los 2, además y'=dy/dx, tenemos y*dy/dx = -x, "pasás" el dx y queda y*dy = -x*dx, integrás a ambos lados, unís las constantes de integración, despejás y listo, de nuevo tu familia original! Como r es constante, r^2 también lo será, así que llamarle k, c, r o r^2 a la constante que aparece es meramente anecdótico, es el radio de la circunferencia y como tiene utilidad práctica la llamamos r^2 pero podría ser k, j, w, da igual.