Como resolver Congruencias teoría de números?
Pruebe sin usar inducción que 5n^(3)+7n^(5) divisible por 12. Debo usar congruencias.
1 Respuesta
;)
Cómo 7-12=5 se puede reducir a
5(n^3-n^5)
y dado que 5 y 12 son coprimos, se reduce a
n^5-n^3=n^3(n+1)(n-1)
Esto siempre es divisible por 3, porque uno de tres números consecutivos n-1, n, n+1 siempre lo es.
Y la potencia de 2, es al menos es 2 si n es par o impar. Luego 3*2^2=12,
Luego divisible por 12
;)
||*||
;)
;)
n ^ 5-n ^ 3 = n ^ 3 (n + 1) (n-1). Esto es siempre divisible por 3, porque uno de n-1, n, n + 1 es un múltiplo de 3, y
Como 7-12 = 5, puede reducir a 5 (n ^ 3-n ^ 5), y dado que 5 y 12 son coprimos, se reduce a...
Me temo que tomaste esta respuesta de internet, ya la he visto antes, y la verdad esa información no es muy certera, gracias de todos modos, espearé si alguien más tiene ideas.
;)
Hola Karen!
Será que no la entendiste, ya que es 100% certera:
=. Será congruente mod 12
5n^3+7n^5=. 5 n^3-5n^5=. 5(n^3-n^5)=.0 <=>
n^5-n^3=n^3(n^2-1)=n^3(n+1)(n-1)=. 0 mod12
Tenemos
n(n+1)(n-1)n^2 =.0 mod3 por ser tres enteros consecutivos
n^3(n-1)(n+1)=.0 mod4 ya que si:
n impar => n+1 y n-1 dos pares=> múltiplo 4
y si n par= ==> n^3 múltiplo 8
Saludos y de agradecidos es votar
;)
;)
