¿Cómo aplicarías los conceptos de probabilidad, variables aleatorias y modelos probabilísticos?

$$\begin{align}&\text{¡Hola Yare!}\\&\\&\text{Aprovecho este espacio para la solución de la segunda parte de tu ejercicio, la primera parte ya la contesté.}\\&\\&\text{Se lanza un dado equilibrado produciendo el espacio equiprobable S= {1,2,3,4,5,6}. Sea X el doble del número que aparece. Encuentre la distribución ƒ, la media µx, la varianza σx2 y la desviación estándar σx de X.}\\&\\&\\&\text{La funcion de densidad para el lanzamiento de un dado queda como sigue:}\\&\\&P[X=x] =\frac{1}{6} \ Para \ \ x \ \epsilon \text{{1,2,3,4,5,6}}.\\&\\&\text{Luego, sea Y una nueva variable aleatoria tal que representa al doble del resultado obtenido al lanzar un dado, entonces:}\\&\\&Y=2X.\\&\\&\text{Entonces la función de densidad será la siguiente:}\\&\\&P[Y=y]=P[2X=y]=P[X=\frac{y}{2}]=\frac{1}{6}\ \ Para \  \frac{y}{2} \epsilon \ \text{{1,2,3,4,5,6}}=\frac{1}{6}\ \ Para \ y \  \epsilon \ \text{{2,4,6,8,10,12}}\\&\\&\text{Por lo tanto, la distribución f será:}\\&\\&P[Y=y] = \frac{1}{6}\ \ Para \ y \  \epsilon \ \text{{2,4,6,8,10,12}}\\&\\&\\&\text{Luego, para hallar la media, simplemente sumamos los productos de cada uno de los valores que toma esta nueva distribuión f por cada probabilidad que toma, luego:}\\&\\&\mu = \sum_{x}^{} xf_x(x)=2*(1/6)+4*(1/6)+6*(1/6)+8*(1/6)+10*(1/6)+12*(1/6) =7\\&\\&\text{Luego, La varianza será:}\\&\\&\sigma^2 =  \sum_{x}^{} x^2f_x(x)-\mu^2=(1/6)*(2^2+4^2+6^2+8^2+10^2+12)^2-7^2=11.6667\\&\\&\text{Por último, la desviación estándar es la raíz de la varianza, por lo tanto:}\\&\\&\sigma =\sqrt{11.6667}=3.41565\end{align}$$

Y eso sería todo, cualquier duda me informas :)

Salu2.