Calcula el valor de x para que el vector libre u=(x, x+1) sea unitario

Por definición, un Vector unitario es aquel que su módulo tiene valor igual a uno, es decir:

$$\begin{align}&\text{Para todo vector u en R^2 : u es unitario si y sólo si ||u|| = 1. Luego,}\\&\\&||u|| = ||(x,x+1)||=\sqrt{x^2+(x+1)^2} = 1\end{align}$$

Sólo queda despejar el valor de x en la anterior ecuación, entonces se tiene:

$$\begin{align}&\sqrt{x^2+(x+1)^2} = 1,\\&\\&x^2+(x+1)^2 = 1,\\&\\&x^2 +x^2+2x+1=1,\\&\\&2x^2+2x+1=1,\\&\\&2x^2+2x=0,\\&\\&2x(x+1)=0,\\&\\&x(x+1)=0,\\&\\&\text{    Por lo tanto se tendrán dos soluciones:}\\&x_1=0\\&x_2 = -1\end{align}$$

Así, el vector u, podrá tomar cualquiera de las dos formas:

$$\begin{align}&a)\ u_1 = (0,0+1)=(0,1)\\&b)\ u_2 = (-1,-1+1)=(-1,0)\end{align}$$

Y eso es todo.

Cualquier duda, con mucho gusto te atiendo :D

Salu2.