¿A qué razón cambia la distancia del maratonista?

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Hola Juan Pinedo!

Es un problema de razones de cambio relacionadas.

Sea x la distancia que recorre el jugador desde Home H, a la Primera base B1, en un instante dado.

Entonces 90-x es la distancia que le falta para llegar a B1.

Sea z la distancia diagonal que hay desde un punto de HB1 a B2.

Por Pitágoras:

$$\begin{align}&z^2=90^2+(90-x)^2\\&\\&Sabemos \ que \ \frac{dx}{dt}=20 \ pies/s\\&\\&Derivando:\\&2z \frac{dz}{dt}=2(90-x)(- \frac{dx}{dt})\\&\\&simplificando\\&\\&z \frac{dz}{dt}=(90-x)(- \frac{dx}{dt})\\&\\&Cuando\ x=60\ ==> 90-x=30\\&z= \sqrt{90^2+30^2}=\sqrt{9000}=30 \sqrt{10}\\&\\&Sustituyendo:\\&z \frac{dz}{dt} \Bigg|_{x=60}=(90-x)(- \frac{dx}{dt}) \Bigg|_{x=60}\\&\\&30 \sqrt{10} \frac{dz}{dt}=30(-20)\\&\\&\frac{dz}{dt} \Bigg|_{x=60}=- \frac{20}{\sqrt{10}}=- \frac{20 \sqrt{10}}{10}=-2 \sqrt{10}  \ \ pies/s\\&\\&b)\\&\text{Sea y la distancia desde el mismo punto del lado HB1  a  B3}\\&y^2=90^2+x^2\\&\\&derivando\\&\\&2y \frac{dy}{dt}=2x \frac{dx}{dt}\\&\\&Simplificando:\\&y \frac{dy}{dt}=x \frac{dx}{dt}\\&\\&Sustituyendo\ x=60==>y=\sqrt{90^2+60^2}= \sqrt{11700}=30 \sqrt {13}\\&\\&y \frac{dy}{dt}\Bigg|_{x=60}=x \frac{dx}{dt}\Bigg|_{x=60}\\&\\&30 \sqrt {13} \frac{dy}{dt}\Bigg|_{x=60}=60·20\\&\\&\frac{dy}{dt}\Bigg|_{x=60}=\frac{1200}{30 \sqrt {13}}=\frac{40 \sqrt{13}}{13}\ \ pies/s\end{align}$$

https://www.youtube.com/watch?v=NcmoTceJTxo 

Saludos y recuerda votar

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