Ecuación diferencial no homogénea de tercer orden

Resolveré por coeficientes indeterminados:

Homogénea:  m^3 + m^2=0;  m^2(m+1)=0;  

y(h) = C1 + C2x + C3e^(-x):

Tenemos dos particulares, una para senx y otra para x.

y(p1)= Fsenx + Gcosx;

y ' = Fcosx - Gsenx;

y ' ' = -Fsenx - Gcosx;

y ' ' ' = -Fcosx + Gsenx.

-Fcosx + Gsenx - Fsenx - Gcosx = senx;

senx(G-F) -cosx(G+F)= senx;

G-F=1;

F+G=0;  G=-F;  reemplazo en la anterior:  2G=1;  G=1/2;

Reemplazo en F+G=0:  F=(-1/2)

y(p1)= (-1/2)senx + (1/2)cosx.

y(p2) = Ax^4+Bx^3+Hx^2+Dx+E

(Porque es una ED de 3° grado, y debemos dejar una x en la última derivada, por eso el polinomio comienza en x^4).

y ' = 4Ax^3+3Bx^2+2Hx+D

y ' ' = 12Ax^2+6Bx+2H;

y ' ' ' = 24Ax + 6 B;

y (p2):  24Ax+6B + 12Ax^2+6Bx+2H = x;

12Ax^2=0;  A=0;

(24A+6B)x = x;  24A+6B=1;  4A+B=1/6;  si A=0:  B=1/6;

6B+2H=0;  3B+H=0;  Reemplazo:  1/2 + H=0;  H= (-1/2)

y (p2) = (1/6)x^3 -(1/2)x^2

Finalmente:  y = C1 + C2x + C3e^(-x) -(1/2)senx + (1/2)cosx +(1/6)x^3 -(1/2)x^2.  

Como no hay dependencias lineales, ese es el resultado.