Conjunto abierto no vacío S en los reales contiene números racionales e irracionales

Es una demostración intuitiva. Tomemos sobre la recta numérica un intervalo abierto cualquiera (a; b); obviamente con a y b excluidos del dominio porque es abierto. Llegando a la frontera de este conjunto existen infinitos números que se acercan a los valores a y b, de los cuales algunos serán racionales y otros no.

Un agregado que viene al caso, relacionado con la frontera:

Ejemplo: Para el extremo superior del conjunto abierto (a; 5); ¿El número periódico 4.99... pertenece al conjunto o no?

Por lo general respondemos que sí, porque 4.99... <5.

Sin embargo no es así porque:

1) Por teoría de números, x<y sólo si existe al menos un z>0 tal que:

x+z=y;  (en la práctica, cuando x<y, existen infinitos z que cumplen la condición);  pero en este caso no existe un z>0 que haga:  4.99...+z=5;  porque independientemente del valor de z, será >5.

Cuidado:  debe ser 9 periódico;  no es lo mismo 4.99 que 4.99.....

2)  Llamemos a 4.99....=m:

10m = 49.99......

m = 4.999....;  resto m.a.m.:

9m = 45;  

m=45/9;  m=5

Por lo que:  4.99.....=5  

Por esta razón, un periódico en la frontera terminado en 9 no pertenece al conjunto abierto.