Si una sucesión de Cauchy en un espacio métrico
Matemáticas
Si una sucesión de Cauchy {an} en un espacio métrico tiene un punto de acumulación x, entonces {an} converge a x
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La sucesión de Cauchy en un espacio métrico que si tiende a un punto de acumulación x, converge a x. Es verdad porque la condición de esta sucesión es que los espacios entre los sucesivos términos son cada vez más pequeños, y, si tienden a un punto x, convergerá a ese punto.
Atención: existen casos en que las sucesiones de Cauchy no convergen a un punto, como en el caso del número e (recordar que e no es un punto):
[1+(1/n)]^n; con i=0, hasta infinito = e; si desarrollamos el binomio por Newton: (n;0)*1^n + (n;1)*n*(1/n) + (n;2)*n^2*(1/n^2) +........;
e=1+1+1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 +......; evidentemente los espacios entre términos son cada vez menores pero no se llega a un punto.
