Si una sucesión de Cauchy en un espacio métrico

La sucesión de Cauchy en un espacio métrico que si tiende a un punto de acumulación x, converge a x. Es verdad porque la condición de esta sucesión es que los espacios entre los sucesivos términos son cada vez más pequeños, y, si tienden a un punto x, convergerá a ese punto.

Atención: existen casos en que las sucesiones de Cauchy no convergen a un punto, como en el caso del número e (recordar que e no es un punto):

[1+(1/n)]^n; con i=0, hasta infinito = e;  si desarrollamos el binomio por Newton:  (n;0)*1^n + (n;1)*n*(1/n) + (n;2)*n^2*(1/n^2) +........;

e=1+1+1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 +......;  evidentemente los espacios entre términos son cada vez menores pero no se llega a un punto.