Un experto en temas de ecuaciones diferenciales
Acudo a un experto por que no entiendo la siguiente
Primera actividad
Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema 1:
Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de temperatura, en los que un objeto absorbe calor del medio circundante. Para dichos casos, se puede establecer la Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton que dice:
“La temperatura de un cuerpo se modifica a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el cuerpo y el medio externo, siempre que el medio mantenga constante su temperatura”
En ese sentido, dicho fenómeno se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y se puede aplicar en el siguiente caso:
Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 25 °C, se introduce en un recipiente que contiene agua hirviendo. Determinar el tiempo que dicha lámina tardará en alcanzar los 80 °C, si se tiene que su temperatura se incrementó 3 °C en un segundo, y calcular cuánto tardará la misma lámina en elevar su temperatura a 95 °C.
1 Respuesta
;)
Hola Esteban !
Para la solución del ejercicio por ecuaciones diferenciales de primer
orden, se puede establecer la Ley de enfriamiento o calentamiento
de Newton que dice : La temperatura de un cuerpo a una velocidad
que es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y
el medio externo .
$$\begin{align}&\frac{dT}{dt}=k(T-100)\\&\\&\frac{dT}{T-100}=k dt\\&\\&Integrando:\\&\\&\int \frac{dT}{T-100}=\int k dt\\&\\&ln|T-100| =kt+C_1\\&\\&T-100= \pm e^{kt+C_1}\\&\\&calentamiento==>\\&T-100=+ e^{kt}·e^{C_1}\\&\\&T-100=ce^{kt}\\&º\text{Luego la ley de calentamiento es}\\&T(t)=100+c e^{kt}\\&\text{para calcular las contantes de la solución de laecuación diferencial , sabemos:}\\&T(0)=25\\&T(1)=28\\&==>\\&25=100+c e^{0}==> c=-75\\&28=100+c e^{k}==> 28-100=-75 e^{k}==> e^k= \frac{72}{75}=\frac{24}{25}==>k=ln \Big( \frac{24}{25} \Big)\\&\\&\text{Luego la función que no proporciona la temperatura de la lamina en cada instante es}\\&\\&T(t)=100-75 \Big( \frac{24}{25} \Big)^t\\&\\&\text{El tiempo que tarda la barra en alcanzar 95º debe verificar:}\\&\\&95=100-75 \Big( \frac{24}{25} \Big)^t==> \\&\\&\Big( \frac{24}{25} \Big)^t= \frac{100-95}{75}= \frac 1 {15}\\&\\&t=\frac{ln \frac 1 {15}}{ln \frac{24}{25}}=66,338 \ s\\&\end{align}$$Saludos
;)
;)
