Desarrollar el siguiente ejercicio integrales

csc x= 1/senx;  

sen(3x) = 4cos^3 x- 3cos x;

También:  sen^2 x +cos^2 x =1;  o:  sen^2 x= 1- cos^2 x;

Reescribo como:  ∫ (1/senx) * (4cos^3x- 3cosx)*dx; 

CDV:  u=cosx;  du=-senx*dx;  dx= du/-senx;  reemplazo:

∫ (-1/sen^2 x) * (4u^3- 3u)*du;  Reemplazo sen^2 x:

- ∫ [(4u^3- 3u) / (1-cos^2 x) ] *du;  sustituyo cos^2 x por u^2

- ∫ [(4u^3- 3u) / (1- u^2)] *du;  o: 

∫ [(4u^3- 3u) / (u^2-1)] *du; por fracciones parciales:

∫ { (4u^3- 3u) / [(u-1)(u+1)] }*du;

{ (4u^3- 3u) / [(u-1)(u+1)] } = A/(u-1) + B/(u+1);  factor común:

{ (4u^3- 3u) / [(u-1)(u+1)] } = [A (u+1) + B (u-1)] / [(u-1)(u+1)];  simplifico:

(4u^3- 3u)  = A (u+1) + B (u-1);

Para u=1:  4 - 3 = 2A + 0B;  A= 1/2;

Para u= (-1):  -4 +3 = 0A +2B;  B= (-1/2);

∫ { (4u^3- 3u) / [(u-1)(u+1)] } du = (1/2) * [ ∫du /(u-1) - du/(u+1)];  integro:

(1/2) * [ ln|u-1| - ln|u+1| + ln|C|;  porque ln|C| también es una constante:

####  (1/2) ln |C*(u-1)/(u+1)|.