Desarrollo Límites de funciones trigonométricas

Pues L´Hospital es haciendo derivada arriba y abajo, con lo que queda cos 0 dividido por 2 al sustiturir 1/2

Es correcta la respuesta de Maite. Puede utilizarse otra manera de razonarlo, ya que tenemos un límite conocido: Lím (x->0) senx/x = 1, que se obtiene mediante una propiedad de los límites conocida popularmente como "teoría del sandwich": Si una función en el entorno de un punto se mantiene entre otras dos funciones, su límite estará entre los otros dos límites.

Para este caso, si graficamos en la circunferencia trigonométrica obtenemos, en el entorno de x=0:

Senx< x < tanx; dividimos por senx:

1 < x/senx < 1/cosx;

Elevamos todo a la (-1), invirtiendo los signos:

1 > senx/x > cosx; tomamos límite parra x->0:

1 > senx / x > 1;  con lo que senx/x, con x tendiente a 0, sólo puede valer 1.

Ahora volvemos al problema:  

senx / 2x = (1/2) senx / x;  como el límite de senx/x para x -> 0 vale 1:

(1/2) * 1 = 1/2;  que es tu límite.