Cómo puedo desarrollar la siguiente demostración:

Recordemos el pequeño teorema de Fermat

$$\begin{align}&\text{Si } p \text{ es un número primo, entonces, para cada número natural } a, \text{con } a>0 , \text{coprimo con } p \text{ entonces } a^{p-1} \equiv 1\mod p\end{align}$$

En este caso podríamos poner que a sea primo y p = 3 por ende 

$$\begin{align}&a^2-1 \equiv 0\mod 3\end{align}$$

O sea 

$$\begin{align}&p^2-1\equiv 0\mod 3\wedge q^2-1\equiv 0\mod 3 \Longrightarrow p^2-q^2\equiv 0\mod 3\end{align}$$

Ahora recordemos que la diferencia de dos números primos es un número par, es decir

$$\begin{align}&p-q=2k\,,\, k\in\mathbb{Z}\end{align}$$

por ello 

$$\begin{align}&p^2-q^2=(p-q)(p+q)=2k(2k+2q)=4k(k+q)\end{align}$$

desde aquí tenemos dos opciones:

(1) si k es par, entonces 

$$\begin{align}&p^2-q^2=8k'\end{align}$$

(2) si k es impar, entonces k + q es par, ya que q, por ser primo, es impar; por consiguiente 

$$\begin{align}&p^2-q^2=8k''\end{align}$$

Hasta aquí tenemos

$$\begin{align}&3 | p^2-q^2\wedge 8|p^2-q^2\Longrightarrow \boxed{24|p^2-q^2}\end{align}$$