¿Encontrar la solución de una ecuación diferencial?
Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma a_2 (x) D^2 y(x)+a_1 (x)Dy(x)+a_0 (x)y(x)=f(x)
Se procede sustituir y = x^m, y^'= mx^(m-1), y'' =m(m-1) x^(m-2) Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma, y luego, con la ayuda de los Wronskianos.
Se procede a encontrar la solución particular.
Con base en lo anterior, los Wronskianos w1 y w2 de la ecuación diferencial: xy’’ - y’ = x son:
- W_1=2x
- W_1=〖-x〗^3
- W_2=1
- W_2=x
1 Respuesta
x y ' ' - y ' = x; Para la homogénea proponemos: y = x^m;
y ' = m x^(m-1);
y ' ' = m(m-1) x^(m-2); reemplazo:
x* m(m-1) x^(m-2) - m*x^(m-1) = 0; o: m(m-1) x^(m-1) - m*x^(m-1) = 0; factorizo:
x^(m-1) * m (m-1-1) = 0; o: x^(m-1) * m (m-2) = 0; por lo que: m=0; m=2;
y(h) = C1x^2 + C2x^0; o: y(h) = C1x^2 + C2;
w = x^2 ////// 1
2x ////// 0; w= -2x;
Recordar que para obtener f(x) debo dividir a toda la ED por x (que multiplica a y ' ' ) quedando f(x) = x/x = 1;
w1 = 0 ///// 1
1 //////0; w1=-1
w2 = x^2 ////// 0
2x ////// 1; w2= x^2
u1= ∫ w1/w; u1= (1/2) ∫ dx/x; u1=(1/2)ln |x|;
u2= ∫ w2/w; u2 = (-1/2) ∫ x*dx; u2= (-1/4)x^2;
y = C1x^2 + C2 + (1/2)x^2*ln|x| - (1/4)x^2; pero como [C1-(1/4)] que están multiplicando a x^2, es una constante, podemos escribir:
y = C3x^2 + C2 + (1/2)x^2*ln|x| o directamente dejar: y = C1x^2 + C2 + (1/2)x^2*ln|x|.
No encuentro coincidencias entre mis Wronskianos y los de tus respuestas posibles.
Puedes corroborar la resolución en:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*+y+%27+%27+-+y+%27+%3D+x
