Como calcular limite, usando teorema del encaje o sándwich
¿Alguien me podría explicar como es que se aplica el teorema del encaje o sándwich?
Tengo el siguiente limite:
Reescribamos como: lím (x->0) (x/senx) * x;
Apliquemos el encaje al paréntesis: Si dibujamos un ángulo en la circunferencia trigonométrica (cuyo radio será igual a 1) formaremos un triángulo rectángulo, donde el opuesto es igual al seno; el arco es igual a x; y, su prolongamos el radio hacia afuera de la circunferencia, el segmento que se forma al levantar una perpendicular desde el cruce de la circunferencia con el eje x positivo hasta cortar la prolongación del radio será igual a la tangente de x; en resumen:
Opuesto= sen;
Arco=x;
Opuesto exterior= Tan
Por simple observación: sen x < x < tan x;
Dividimos a la desigualdad por senx: 1 < (x/senx) < (1/cos x);
Tomo límite para x tendiente a 0 para los tres valores:
1 < (x/sen x) < 1; por lo que el límite para x->0 de (x/senx) = 1;
Reemplacemos en el inicio:
Lím (x->0) (x/sen x) * x = 1*0; tu límite vale 0.
