El resto de dividir P(x) por (x+2) es 4, si lo dividimos por (x-2) es 8 y si lo dividimos por (x+3) es 13
Alguien que me ayude.
Si el divisor es (x-2)(x+2)(x+3) y nos piden el resto, entonces P(x) tendrá grado al menos 3.
Puedes tomar un polinomio genérico de grado 3, ya que si usas un múltiplo de el tendría el mismo resto.
Con las tres informaciones que te dan y usando el teorema del resto, resuelves el sistema de ecuaciones que será compatible indeterminado y obtendrás P(x).
Por último tendrás que hacer la división entre P(x) obtenido y (x-2)(x+2)(x+3) hallando el resto pedido.
Ánimo y suerte.
Si necesitas ayuda de nuevo no dudes en consultar.
Perdón por ser tan pesado.
Se me ha ocurrido otra forma de hacerlo sin tener que calcular P(x) y luego dividir para obtener el resto.
Si divido P(x) entre (x-2)(x+2)(x+3), tendría de cociente Q(x) y resto R(x), es decir, usando la prueba de la división.
P(x)=Q(x)(x-2)(x+2)(x+3) + R(x)
Pero el resto debe tener grado menor que el divisor, es decir, como mucho 2.
Por tanto R(x)=ax^2+bx+c
Luego
P(x)=Q(x)(x-2)(x+2)(x+3) + ax^2+bx+c
Ahora basta imponer las condiciones que nos dan
P(-2)=4.... 4 = 4a-2b+c
P(2) = 8 .... 8 = 4a+2b+c
P(-3) = 13... 13 = 9a -3b+c
Resolviendo el sistema obtiene a, b y c y, por tanto, el Resto.
¿Qué te parece?
1 respuesta más de otro experto
;)
Hola Vendiendo Cuenta!
Tal como yo lo veo, dependería del grado de P(x)
Si buscamos el polinomio de menor grado que cumpla lo anterior, como he de calcular el resto de dividir entre (x+2)(x-2)(x+3), hemos de tener un polinomio de grado 3:
$$\begin{align}&P(x)=x^3+bx^2+cx+d\\&\text{por el teorema del resto:}\\&P(-2)=4\\&P(2)=8\\&P(-3)=13\\&\\&==>\\&-8+4b-2c+d=4\\&8+4b+2c+d=8\\&-27+9b-3c+d=13\\&\\&==>\\&4b-2c+d=12\\&4b+2c+d=0\\&9b-3c+d=40\\&\\&\text{resolviendo el sistema}\\&b=5\\&c=-3\\&d=-14\\&\\&P(x)=x^3+5x^2-3x-14\\&\\&Dividiendo \ entre \ (x+2)(x-2)(x+3)=(x^2-4)(x+3)=x^3+3x^2-4x-12\\&\\&\text{Haciendo la division}\\&Cociente=1\\&Resto=2x^2+x-2\end{align}$$Esta no es la mejor pagina para poner una división con la caja:
x^3 + 5x^2 - 3x -14 |x^3+3x^2-4x-12
-x^3-3x^2+4x+12 &&1
_________________
2x^2+x-2
Luego este sería el resto.
Espero que te sirva. Espero que otros expertos te puedan aportar nuevas ideas
Saludos
;)
;)
Quisiera saber como llegaste a este conclusión:
"resolviendo el sistemab=5c=−3d=−14"
Muchas gracias.
;)
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Listo!
Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, si despejas una de ellas, por ejemplo la d, de la primera
d=12-4b+2c
Y la sustituyes en las otras dos, te quedará un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que puedes resolver por los métodos habituales(reducción, igualación, sustitución)
;)