Hallar el dominio de la raíz del logaritmo en base 2 de ((x^2)-x-6÷(x^2)-1).
He utilizado aplicaciones móviles para ver representada la gráfica y así determinar el dominio (creo que es (-infinito, -5]U(-1,1)), pero soy incapaz de encontrarlo analíticamente.
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Interpreto como: √ log(2) [ (x^2-x-6) / (x^2-1)];
Toda raíz par debe tener un radicando ≥0; por lo que, inicialmente:
log(2) [(x^2-x-6) / (x^2-1)] ≥0;
Como Log 1, en cualquier base es =0, la desigualdad que debemos buscar es:
[(x^2-x-6) / (x^2-1)] ≥ 1;
Desigualamos a 0:
[(x^2-x-6) / (x^2-1)] - 1 ≥ 0;
[(x^2 - x - 6) - (x^2 - 1) ] / (x^2-1) ≥ 0;
(-x-5) / (x^2-1) ≥ 0; Hallamos los ceros o raíces:
-x-5=0; x=-5; Como es una recta de pendiente negativa, el numerador será positivo para todo x < -5;
Para el denominador, factorizamos: (x+1)(x-1); por lo que al ser una parábola de vértice inferior (término cuadrático positivo), la positividad estará en las ramas (no en el vértice): (-∞; -1) U (1; ∞).
En los valores x=-1 y x=1 hay dos asíntotas verticales (indefiniciones por división por 0). Analicemos los intervalos:
(-∞; -5) numerador y denominador positivos: VÁLIDA
{-5}; numerador =0; VÁLIDA;
(-5; -1) numerador negativo, denominador positivo: no válida.
{-1}: indefinición y asíntota.
(-1; 1): numerador y denominador negativos: VÁLIDA;
{1}: indefinición y asíntota.
(1; ∞): numerador negativo, denominador positivo: no válida.
En resumen: (-∞; -5] U (-1; 1), tal cual tu resultado.
