Tengo un problema de ecuaciones diferenciales que no puedo resolver. Trata del teorema de existencia y unicidad.
Tengo una ecuación que dice dv/dt+mg=kv^2 y tengo que encontrar la solución. Pero estoy atorada después de la integral, ya no se que más hacer, de ante mano agradezco su tiempo. Me sería de gran ayuda.
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Respuesta de Karl Mat
3
Asumiré que la masa y la gravedad no dependen del tiempo ni la velocidad
$$\begin{align}&\frac{dv}{dt}=kv^2-mg\\&\\&\frac{dv}{kv^2-mg}=dt\\&\\&\int_{v_0}^{V}\frac{dv}{kv^2-mg}=\int_{t_0}^{T} dt\\&\\&\frac{1}{2k}\int_{v_0}^{V}\frac{2dv}{v^2-\frac{mg}{k}}=T-t_0\\&\\&\left.\left(\frac{1}{2k}\ln\left|v^2-\frac{mg}{k}\right|\right)\right|_{v_0}^{V}=T-t_0\\&\\&\frac{1}{2k}\left(\ln\left|V^2-\frac{mg}{k}\right|-\ln\left|v_0^2-\frac{mg}{k}\right|\right)=T-t_0\\&\\&\frac{1}{2k}\ln\left|\frac{kV^2-mg}{kv^2_0-mg}\right|=T-t_0\\&\\&\ln\left|\frac{kV^2-mg}{kv^2_0-mg}\right|=2k(T-t_0)\\&\\&\frac{kV^2-mg}{kv^2_0-mg}=e^{2k(T-t_0)}\\&\\&kV^2-mg=e^{2k(T-t_0)}(kv^2_0-mg)\\&\\&V^2=\frac{e^{2k(T-t_0)}kv^2_0+mg\left[1-e^{2k(T-t_0)}\right]}{k}\\&\\&\\&V=\sqrt{e^{2k(T-t_0)}v^2_0+\frac{mg}{k}\left[1-e^{2k(T-t_0)}\right]}\\&\\&\end{align}$$
Me equivoqué en la integral
$$\begin{align}&\int_{v_0}^{V}\frac{dv}{kv^2-mg}=\int_{t_0}^{T} dt\\&\\&\frac{1}{k}\int_{v_0}^{V}\frac{dv}{v^2-\sqrt\frac{mg}{k}^2}=T-t_0\\&\\&\frac{1}{k}\cdot \frac{1}{2\sqrt\frac{mg}{k}}\left.\ln\left|\frac{v-\sqrt\frac{mg}{k}}{v+\sqrt\frac{mg}{k}}\right|\right|_{v=v_0}^{v=V}=T-t_0\\&\\&\\&\frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{kmg}\left(\ln\left|\frac{V-\sqrt\frac{mg}{k}}{V+\sqrt\frac{mg}{k}}\right|-\ln\left|\frac{v_0-\sqrt\frac{mg}{k}}{v_0+\sqrt\frac{mg}{k}}\right|\right)=T-t_0\end{align}$$
¡Gracias!
Muchísimas gracias, me fue de gran ayuda, espero seguir contando con su apoyo, si puedo hacer algo, hágamelo saber, de nuevo ¡Muchas gracias!.
