¿Me podría explicar toda esta sección de este ejercicio de racionalización? (caso 2)

Saludos Gravitate Carentibus

Es un ejercicio de racionalización de radicales, cuyo objetivo es eliminar la raíz del denominador. Para ello haces uso de dos herramientas:

1. Completar la raíz. Se realiza multiplicando por otra raíz del mismo índice y base, pero con una potencia tal que sumada a la potencia que tengo llegue del valor del índice de la raíz.

Ejemplo:

$$\begin{align}&\sqrt[8]{3^2}* \color {blue} {\sqrt[8]{3^6}} =\sqrt[8]{3^2*3^6}=\sqrt[8]{3^{2+6}}=\sqrt[8]{3^{8}}=3\end{align}$$

Observa que se multiplica por otra raíz del mismo índice (8) y base(3), pero con una potencia (6) tal que sumada a la potencia que tengo (2) llegue del valor del índice de la raíz (ya que 6+2=8)

2. Si a un factor lo multiplico y lo divido por una misma expresión determinada, el factor inicial permanece inalterable.

Ejemplo:

$$\begin{align}&2=2* \color{blue} {\frac{3}{3}}=\frac{2*3}{3}=\frac{6}{3}=2\end{align}$$

Al factor (2) lo multiplique y dividí por un mismo valor(3) y permaneció inalterable.

En tu ejercicio:

Primero completas la raíz, multiplicando y dividiendo por el mismo valor para que permanezca inalterable...

$$\begin{align}&\frac {\sqrt {2}}{\sqrt[3]{3}}=\frac {\sqrt {2}}{\sqrt[3]{3}}*\frac {\sqrt [3]{3^2}}{\sqrt[3]{3^2}}\\&\\&\\&=\frac {\sqrt {2}*\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3}*\sqrt [3]{3^2}}\end{align}$$

Como en el denominador son raíces con un mismo índice...

$$\begin{align}&=\frac {\sqrt [2*3]{2^{1*3}}*\sqrt[3*2]{3^{2*2}}}{3}\\&\\&\\&=\frac {\sqrt [6]{2^{3}}*\sqrt[6]{3^{4}}}{3}\\&\\&\\&=\frac {\sqrt [6]{2^{3}*{3^{4}}}}{3}\\&\end{align}$$

Ya no hay raíz en el denominador, sin embargo por "estética", se busca que en el numerador no existan raíces con diferente índice. Para ello, calculamos el mínimo común múltiplo entre los índices de las raíces y multiplicamos índices y potencias por el mcm/índice. En este caso, mcm(2,3)=6, por lo que la raíz cuadrada 6/2=3 y la cúbica 6/3=2

$$\begin{align}&=\frac {\sqrt [2*3]{2^{1*3}}*\sqrt[3*2]{3^{2*2}}}{3}\\&\\&\\&=\frac {\sqrt [6]{2^{3}}*\sqrt[6]{3^{4}}}{3}\\&\\&\\&=\frac {\sqrt [6]{2^{3}*{3^{4}}}}{3}\\&\end{align}$$

Yo lo dejaría así, pero en puedes seguir operando como lo muestra tu ejemplo.

Éxitos y recuerda valorar a todos, así agradecemos a los que se toman el tiempo de ayudar.