Trigonometría - Ángulo Doble : Simplifica la expresión...
Es con ángulo doble la resolución.
Respuesta de Karl Mat
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$$\begin{align}&E=\left(\frac{2\sin4x\cdot \csc x}{8\cos^3x-4\cos x}\right)\left(\frac{\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)+\tan2x}{\tan x+\cot x}\right)\\&\\&E=\left(\frac{4\sin2x\cos2x\cdot \csc x}{4\cos x(2\cos^2x-1)}\right)\left(\frac{\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan\dfrac{\pi}{4}\cdot\tan x}+\tan2x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}}\right)\\&\\&E=\left(\frac{4\sin2x\cos2x\cdot \csc x}{4\cos x(\cos2x)}\right)\left(\frac{\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}+\tan2x}{\csc x\sec x}\right)\\&\\&E=\left(\frac{\sin2x\cdot \csc x}{\cos x}\right)\left(\frac{\dfrac{(1-\tan x)^2}{(1+\tan x)(1-\tan x)}+\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}}{\csc x\sec x}\right)\\&\\&E=\left(\frac{2\sin x\cos x\cdot \csc x}{\cos x}\right)\left(\frac{\dfrac{(1-\tan x)^2}{1-\tan^2 x}+\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}}{\csc x\sec x}\right)\\&\\&E=\left(2\sin x\cdot \csc x\right)\left(\frac{\dfrac{1+\tan^2 x}{1-\tan^2 x}}{\csc x\sec x}\right)\\&\\&E=2\left(\frac{\dfrac{\cos^2x+\sin^2 x}{\cos^2x-\sin^2 x}}{\csc x\sec x}\right)\\&\\&E=2\left(\frac{\dfrac{1}{\cos 2x}}{\csc x\sec x}\right)\\&\\&E=\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos 2x}\\&\\&E=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\\&\\&\\&E=\tan 2x\end{align}$$......
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Respuesta de edwin german
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$$\begin{align}&tanx+cotx=\frac{senx}{cosx}+\frac{cosx}{senx}=\frac{sen^2x+\cos^2x}{senxcosx}=\frac{1}{senxcosx}\\&\\&\frac{2sen4xcscx}{8cos^3x-4cosx}=\frac{2sen4x}{senxcos\left(8cos^2x-4\right)}\\&\\&\frac{2sen4x}{senxcos\left(8cos2x−4\right)}\left(tan\frac{\pi \:}{4}-x+tan2x\right)\left(senxcosx\right)\\& se-puede-cancelar (senxcosx) -en\\& la- expresion:\\&\frac{2sen4x}{\left(8cos^2x−4\right)}\left(tan\frac{\pi \:\:}{4}-x+tan2x\right)\\&\\&\frac{2sen4x}{\left(8cos^2x−4\right)}=\frac{2sen4x}{4\left(2cos^2x−1\right)}=\frac{sen4x}{2\left(2cos^2x−1\right)}=\frac{sen4x}{2\left(2cos^2x−\left(sen^2x+\cos^2x\right)\right)}=\frac{sen4x}{2\left(2cos^2x-sen^2x-\cos^2x\right)}=\frac{sen4x}{2\left(\cos^2x-sen^2x\right)}=\frac{sen4x}{2cos\left(2x\right)}\end{align}$$.
Después usas esta identidad: tan(x − y) = tan(x) − tan(y) 1 + tan(x) tan(y) y resuelves, (sale muy largo) :, v
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/tab-trig.pdf te dejo este documento donde están las identidades más importantes y es bastante completo