Función sobreyectiva f:[0,1]→[0,1] tal que f(x) es continua en [0,1], demostrar que existe x0 ϵ[0,1] tal que f(x0 )=x0
Dada la función sobreyectiva f:[0,1]→[0,1] tal que f(x) es continua en [0,1], demostrar que existe x0 ϵ[0,1] tal que f(x0 )=x0
No sé cómo hacer dicha demostración.
2 Respuestas
Es correcta la respuesta de Karl Mat (votada), y además lo expresa en forma analítica. Sólo haré un aporte "práctico" desde teoría de conjuntos:
Las funciones sobreyectivas, por definición, tienen a TODOS los elementos del codominio (f(x)) con al menos una correspondencia con el dominio (x).
Con esta definición, si existe f(x0) perteneciente al intervalo cerrado [0; 1], necesariamente existe x0.
Sea h(x) = f(x) - x, además (a,0) & (b,1) pertenecen a f, donde a,b ∈ [0,1] , así h(a) = -a <0 ; h(b) = 1-b>0. Es claro que la función h es continua. Por el teorema de los ceros de Bolzano se tiene que existe un c ∈ [a,b] tal que h(c) = 0.
y donde se demuestra que f(x)=x?
En h(c) = 0, donde se había definido que h(x) = f(x) - x, entonces f(c)-c = 0
f(c) = c, donde c ∈ [0,1]
Si es buen punto, Norberto.Ya para los demás lectores, en la última parte se pide demostrar que x0 = f(x0). - Karl Mat