¿Son los números complejos la raíz cuadrada de los num negativos?
Una duda que se me plantea:
Si la raíz cuadrada de menos 1 es igual a j..., eso quiere decir que los números imaginarios positivos situados en el semieje vertical positivo estarían representando a la raíz cuadrada de todos los números negativos...
¿Pero entonces que representan los números imamginarios j en el semieje vertical negativo?
4 Respuestas
Representan al número entero –1 (negativo pues) "unido" (mediante la operación de multiplicar) a la raíz cuadrada de los números negativos, por ejemplo: –3i = –3√–1 = –√–9
Desde luego, Mario Rodríguez tiene razón, pero yo quisiera entonces añadir algo a lo que dice sobre la³√ de +1. Ya antes de que a un estudiante le hablen por primera vez de la forma trigonométrica de un número complejo, con las matemáticas que sabe un estudiante de estudios pre-medios (13 o 14 años de edad) podrá comprender lo que sigue.
Queremos hallar la³√ de +1. No sabemos su valor, es por eso que queremos hallarlo. Como no lo sabemos, lo llamamos x, será una incógnita a despejar:
³√ 1 = x
Si lo elevamos todo al cubo, la igualdad se mantiene:
1 = x³ Es decir:
x³ – 1 = 0 ............................................. ❶
Intuitivamente (sin cálculos) ya se ve que una raíz de esta ecuación es
x₁ = 1 porque 1³ = 1
Hemos escrito x₁ = 1 y no x = 1 porque, como pronto veremos, hay tres raíces. Y en efecto, como reza un conocido teorema, todo polinomio de grado n tiene n raíces, ni más ni menos. Y es obvio que x³ – 1 es el polinomio x³ + 0x² + 0x – 1.
Si dividimos x³ – 1 entre x – 1 obtendremos un trinomio de 2.º grado que tendrá que contener las dos raíces de x³ – 1 que faltan por hallar:
. .1. . . 0. . . 0. . .–1
. . . . . .1. . . 1. . . .1
1)-----------------------------
. .1. .. 1. . . .1. . .∟0
El polinomio de 2.º grado que decíamos es, pues,
x² + x + 1 = 0
cuyas raíces serán:
. . . . . . . . . .___________. . . . .. . (– 1 + i √3)/2 = x₂
. . . .– 1 ± √ 1² – 4•1•1. . . . . .↗
x = --------------------------------- =
. . . . . . . . . .2 • 1. . . . . . . . . . .↘ (– 1 – i √3)/2 = x₃
Si elevas al cubo el valor obtenido para x₂ verás que da 1. Lo mismo para x₃. Hay concordancia entre estos resultados y los de Mario: él los expresa en forma trigonométrica, y yo lo he hecho en lo que se llama forma binómica. Por cierto, la primera raíz también puede ser expresada en forma binómica:
x₁ = 1 + i 0
o también en forma trigonométrica:
x₁ = cos 0 + i sin 0
En fin, también se puede efectuar la³√ de –1 de la misma manera.
Mejor dicho:
El polinomio de 2.º grado que decíamos es, pues,
x² + x + 1
(sin el = 0)
Mejor dicho, x₂ & x₃ en forma binómica son:
x₂ = (– 1/2) + i (√3)2
x₃ = (– 1/2) – i (√3)2
No lo tenía mal matemáticamente, era solo una imprecisión en la nomenclatura.
No creo que sea difícil averiguar por la red sobre la historia de los números imaginarios (tiene algo que ver con Cardano, Euler [fue él que denominó a i como la raíz cuadrada de -1], Hamilton, etc)
Mejor dejo esta referencia: http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/revista_impresa/numero_1/hamilton_y_el_descubrimiento_de_los_cuaterniones.pdf
En realidad se trataba de resolver esta ecuación:
$$\begin{align}&x^2+1=0\end{align}$$cuyas soluciones son
$$\begin{align}&x_1=-i\,,\,x_2=i\end{align}$$o mejor aun si queremos resolver esta ecuación
$$\begin{align}&x^2+a^2=0\end{align}$$Tenemos las soluciones...
$$\begin{align}&x_1=-|a|i\,,\, a_2=|a|i\end{align}$$donde a es un número real. Así pues tienes a los imaginarios positivos y a los imaginarios negativos.
Hay que aclarar que los números complejos son isomorfos a ℝ², tienen una estructura diferente a los números reales, no es un conjunto ordenado.
:)
Estás encarando este tema al revés de lo que es. O sea:
- Si yo te preguntara cual es la raíz cuadrada de 4 y me contestaras que es "2", tu respuesta NO sería completa pues la raíz cuadrada de cualquier número SIEMPRE tiene dos respuestas (+2 y -2, en este caso).
- Así las cosas, la raíz cuadrada del número real "-1" también tiene dos soluciones: +j y -j.
- Y volviendo a tu pregunta, digamos que tu afirmación: - "... la raíz cuadrada de menos 1 es igual a j ..." es incorrecta. Lo correcto es decirlo "al revés", o sea:
.) "+j" Es igual a la raíz cuadrada de -1, pero
.) "-j" También es igual a la raíz cuadra de -1.
¿Entendido?...
De paso te anticipo que descubrirás que "en el campo de los números complejos" la raíz cúbica de +1 (uno positivo) tiene tres soluciones:
a) 1
b) cos(2π/3) + j sen(2π/3)
c) cos(2π/3) - j sen(2π/3)
:)
:)
No... La raíz cuadrada de cualquier numero negativo son dos valores ( no uno) o sea riguramente:
V(-1) = + i y -i
V(-9) = + 3I y -3i
Y así para cualquier real negativo. Como veras están contenidos los dos valores conjugados en la solución.