Escribir en forma de ecuación diferencial

$$\begin{align}&f(x)=e^{k\cdot x}\end{align}$$

• ¿Qué función del cálculo conoce, cuya primera derivada es la función misma?

Sea y = f(x) tal función, entonces la pregunta se modela así:

$$\begin{align}&y=y'\end{align}$$

o

$$\begin{align}&y = \frac{dy}{dx}\end{align}$$

Encontrémosla

• $$\begin{align}&dx =\frac{dy}{y}\\&\\&\text{integrando ambos miembros}\\&\\&\int dx=\int \frac{dy}{y}\\&\\&x=\ln |y|+C_1\\&\\&y=e^{x-C_!}\\&\\&y=e^x\cdot e^{-C_1}\\&\\&\boxed{y=C_2 \cdot e^x}\end{align}$$

  ¿Cuya primera derivada sea un múltiplo constante que de la función misma? 

$$\begin{align}&y=k y'\\&\\&dx = k \frac{dy}{y}\\&\\&x = k \ln |y| +C_1\\&\\&x-C_1=\ln|y^k|\\&\\&y^k = C_2 ~e^{x}\\&\\&\boxed{y= C_3 ~e^{x/k}} ; ~~C_i , k\in \mathbb{R}\end{align}$$