Anónimo
No se como seguir esta serie para ver si es convergente o divergente
$$\begin{align}&\sum _{n=1}^{\infty }\:\left(ln\left(n\right)-ln\left(n+1\right)\right)\\&\\&\end{align}$$Usando el criterio de comparación por limite
$$\begin{align}&an=\:\left(ln\left(n\right)-ln\left(n+1\right)\right)\\&bn=1/n\\&\end{align}$$$$\begin{align}&\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\left(ln\left(n+1\right)-ln\left(n\right)\right)}{\frac{1}{n}}\right)\\&\lim _{x\to \infty }\left(n\left(ln\left(n+1\right)-ln\left(n\right)\right)\right)\end{align}$$Pero luego no se como seguir.
Respuesta de Karl Mat
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Veamos.
$$\begin{align}&s_j=\sum\limits_{n=1}^{j}\ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right)\\&\\&s_j=\ln\left[\prod\limits_{n=1}^j\left(\dfrac{n}{n+1}\right)\right]\\&\\&s_j=\ln \left(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}\times\cdots\times\dfrac{j-1}{j}\times\dfrac{j}{j+1}\right)\\&\\&s_j=\ln\left(\dfrac{1}{j+1}\right)\\&\\&\text{Luego}\\&\\&\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right)=\lim\limits_{j\to+\infty}\ln\left(\dfrac{1}{j+1}\right)\\&\\&\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right)=-\infty\end{align}$$Por ende la serie es divergente.