Me podrían decir si el procedimiento que estoy realizando esta correcto es de área mediante jacobiano

A decir verdad ese cambio de variable no tiene ningún sentido, ¿cuál era la estrategia?

El jacobiano es un determinante.

Sin tanto rodeo entremos al asunto. Lo que vamos a hacer es el siguiente cambio de variable

u = x + y

v = x - y

Luego hallemos el valor absoluto del jacobiano (que después irá dentro de la integral doble)

$$\left|J(u,v)\right|= \left|\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right|=\left|\det\left[
\begin{matrix}
\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\
\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}
\end{matrix}
\right]\right| \\ \\$$

Ahora veamos la integral...

$$\begin{align}&\iint\limits_{D}\frac{\sin(x-y)}{\cos(x+y)}~dx~dy=\iint\limits_{H}\frac{\sin v}{\cos u} |J(u,v)|~du~dv\\&\\&\iint\limits_{D}\frac{\sin(x-y)}{\cos(x+y)}~dx~dy=\frac{1}{2}\iint\limits_{H}\frac{\sin v}{\cos u} ~du~dv\\&\\&\text{Ahora la cosa está en hallar la región $H$. Piensese en el plano cartesiano $uv$}\\&\\&y=0\to  u-v = 0\to u=v\\&y=x \to u-v=u+v\to v=0\\&\\&x+y=\frac{\pi}{3}\to u=\frac{\pi}{3}\\&\\&H=\left\{(u,v): 0\leq u\leq \frac{\pi}{3} ~;~ 0\leq v\leq u\right\}\\&\\&\text{Ahora retornemos a la integral que deseamos calcular}\\&\\&I=\frac{1}{2}\iint\limits_{H}\frac{\sin v}{\cos u} ~du~dv\\&\\&I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3}\int_{0}^{u}\frac{\sin v}{\cos u}~dv~du\\&\\&I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3}\frac{1}{\cos u}\left(\int_{0}^{u}\sin v~dv\right)~du\\&\\&I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3}\frac{1}{\cos u}\cdot (1-\cos u) ~du\\&\\&I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3} \sec u - 1 ~du\\&\\&I=\frac{1}{2} \left.\left[\ln |\tan u+\sec u|-u\right]\right|_{0}^{\pi/3}\\&\\&I=\frac{1}{2} \left(\ln|\sqrt3+2|-\frac{\pi}{3}\right)\\&\\&\huge\boxed{I=\dfrac{1}{2}\ln(\sqrt3+2)-\dfrac{\pi}{6}}\end{align}$$