Como demostrar la ecuación de la onda a partir de

Como se sabe la EDP tiene diversas soluciones, por ende lo que se está pidiendo mostrar es que

$$\begin{align}&w(x,t)=\tan(2x-2ct)\end{align}$$

Es una de las soluciones (de un cierto tipo de onda). Entonces derivemos convenientemente

$$\begin{align}&w_t=-2c~\sec^2(2x-2ct)\\&\\&w_{tt}=-2c\times 2\sec (2x-2ct)\times \sec (2x-2ct)\tan (2x-2ct)\times (-2c)\\&\\&w_{tt}=8c^2\sec^2 (2x-2ct)\tan (2x-2ct)~~\cdots\cdots\cdots\cdots(1)\\&\\&\text{por otro lado}\\&\\&w_x=2\sec^2(2x-2ct)\\&\\&w_{xx}=4\sec(2x-2ct)\times \sec(2x-2ct)\tan(2x-2ct)\times 2\\&\\&w_{xx}=8\sec^2 (2x-2ct)\tan(2x-2ct)\\&\\&c^2 w_{xx} =\underbrace{8c^2\sec^2 (2x-2ct)\tan(2x-2ct)}_{\text{de la ecuación (1)}}\\&\\&\Large\boxed{c^2 w_{xx} = w_{tt}}\end{align}$$