Realizar la demostración por inducción de la siguiente expresión.
$$\begin{align}&\frac{\left(\left(1+\sqrt{5}\right)^n-\left(1-\sqrt{5}\right)^n\right)}{2^n\sqrt{5}}\end{align}$$Cómo podría realizar la demostración de esta expresión, teniendo en cuenta que es un número entero para todo n que pertenece a los naturales.
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Respuesta de Karl Mat
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Con n = 1 se cumple, supongamos que se cumple con n = 2, 3, 4, ... , h, entonces debería cumplirse también para n = h + 1, veamos
$$\begin{align}&p(h)=\dfrac{(1+\sqrt{5})^h-(1-\sqrt{5})^h}{2^h\sqrt5}\in \mathbb{Z}\\&\\&(1+\sqrt{5})p(h)+(1-\sqrt{5})p(h)=\dfrac{(1+\sqrt{5})^{h+1}-(1-\sqrt{5})^h(1+\sqrt{5})}{2^h\sqrt5}+\dfrac{(1+\sqrt{5})^h(1-\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})^{h+1}}{2^h\sqrt5}\\&\\&2p(h)=\dfrac{(1+\sqrt{5})^{h+1}-(1-\sqrt{5})^{h+1}}{2^h\sqrt5}+\dfrac{(1+\sqrt{5})^h(1-\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})^h(1+\sqrt{5})}{2^h\sqrt5}\\&\\&p(h)=\dfrac{(1+\sqrt{5})^{h+1}-(1-\sqrt{5})^{h+1}}{2^{h+1}\sqrt5}+\dfrac{(1+\sqrt{5})^h(1-\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})^h(1+\sqrt{5})}{2^{h+1}\sqrt5}\\&\\&p(h)=p(h+1)-\dfrac{(1+\sqrt{5})^{h-1}-(1-\sqrt{5})^{h-1}}{2^{h-1}\sqrt5}\\&\\&p(h)=p(h+1)-p(h-1)\\&\\&p(h+1) = \underbrace{p(h)}_{\in\mathbb{Z}}+\underbrace{p(h-1)}_{\in\mathbb{Z}}\\&\\&p(h+1)\in\mathbb{Z}\\&\end{align}$$
