Utilice el Teorema de Green para evaluar las integrales de lineas

La región D que encierra la curva C (cerrada) se puede representar como sigue

$$\begin{align}&D=\left\{(x,y):-1\leq x \leq 1~;~0\leq y\leq 1-x^2\right\}\end{align}$$

Como el campo vectorial (2xy ,  x+ y) es continua en D entonces es viable aplicar el teorema de Green

$$\begin{align}&\oint_C 2xy~dx+(x+y)~dy=\iint\limits_{D} \partial_x(x+y)-\partial_y(2xy)~dx~dy\\&\\&\oint_C =\iint\limits_{D} 1-2x~dx~dy\\&\\&\oint_C =\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1-x^2}1-2x~dy~dx\\&\\&\oint_C =\int_{-1}^{1} \left.(1-2x)y\right|_{y=0}^{y=1-x^2} ~dx\\&\\&\oint_C =\int_{-1}^{1} (1-2x)(1-x^2)~dx\\&\\&\oint_C =\int_{-1}^{1} 1-2x-x^2+2x^3~dx\\&\\&\oint_C =\left.\left(x-x^2-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{2}\right)\right|_{x=-1}^{x=1}\\&\\&\oint_C 2xy~dx+(x+y)~dy=\frac{4}{3}\\&\end{align}$$