¿En cuantos años el PIB alcanzara la cantidad deseada?
El PIB anual (producto interno bruto) de un país, esta actualmente en $25000 millones, se prevé crecer un 3.5% cada año. Se espera que la población aumente un 2% al año de su nivel actual de 40 millones. ¿Después de cuantos años el PIB per capital (PIB por persona de la poblacion) alcanzara los $700 millones?
Veamos lo que tenemos...
PBI Actual: 25000 millones
Población Actual: 40 millones
Crecimiento PBI interanual: 3.5%
Crecimiento población interanual: 2%
Primero veamos el PBI per cápita actual, para ver si no lo hemos alcanzado ya
PBI per cápita = PBI / Población = 25000 / 40 = 625
Lo que queremos es hallar a cuantos años (n) valdrá:
$$\begin{align}&PBI \ per \ Cápita = 700 = \frac{25000 \cdot 1.035^n}{40 \cdot 1.02^n}\\&1.12 = \frac{ 1.035^n}{ 1.02^n}\\&1.12 \cdot 1.02^n = 1.035^n\\&Aplico \ logaritmos...\\&lg(1.12 \cdot 1.02^n) = lg(1.035^n)\\&lg(1.12)+lg( 1.02^n) = lg(1.035^n)\\&lg(1.12)+n \cdot lg( 1.02) = n \cdot lg(1.035)\\&lg(1.12) = n \cdot lg(1.035) - n \cdot lg( 1.02)\\&lg(1.12) = n \ (lg(1.035) - lg( 1.02))\\&lg(1.12) = n \cdot lg(\frac{1.035}{ 1.02})\\&lg(1.12) = n \cdot lg(1.015)\\&\frac{lg(1.12)}{lg(1.015)} = n\\&\text{Hasta acá puse justamente lg, porque en realidad puedes usar el logaritmo en cualquier base}\\&\text{Hay otras cuentas que podría haber hecho antes, pero lo hice así porque supongo que el ejercicio}\\&\text{tiene que ver con que practiques logaritmos y sus propiedades}\\&Retomando...\\&\frac{lg(1.12)}{lg(1.015)} = n\\&n=7.61\end{align}$$Si tomamos años 'completos' deberían pasar 8 años, para que el PBI alcance (en realidad a 8 años lo va a superar) los $700 (*)
(*) Veo que en los 700 pusiste millones, pero sinceramente no creo que sea cualquier cosa, en las cuentas reemplaza el 700, por 700millones
Salu2
¡Gracias!
fue de gran ayuda, estaba atorado y no sabia como resolverlo
y ¿si la cantidad fuera con 800?
Simplemente reemplazas el 800 en el primer paso y haces las cuentas nuevamente, en general sería:
$$\begin{align}&Monto=\frac{25000 \cdot 1.035^n}{40 \cdot 1.02^n}\\&\frac{Monto \cdot 4}{2500} \cdot 1.02^n = 1.035^n\\&lg \bigg(\frac{Monto }{625} \cdot 1.02^n \bigg)= lg(1.035^n)\\&lg (\frac{Monto }{625}) + lg( 1.02^n )= lg(1.035^n)\\&lg (\frac{Monto }{625}) =n ( lg(1.035) - lg(1.02))\\&lg (\frac{Monto }{625}) =n ( lg(1.015) )\\&n = \frac{lg (\frac{Monto }{625}) }{lg(1.015) }\end{align}$$Ahí tienes la fórmula "general", simplemente reemplaza el "Monto" por el valor que quieras.
Saludos y no olvides valorizar la respuesta
1 respuesta más de otro experto
Pregunta imposible de responder. Seria un simple vaticinio; algo como decir qué numero de la lotería sakdrá premiado mañana.
Estás proponiendo una proyección lineal. Hay pocas probsbilidades de que se cumpla. - Prof. Francisco Poveda
En condiciones reales estoy totalmente de acuerdo, pero eso son las premisas del enunciado. "se prevé crecer un 3.5% cada año..." - Anónimo
Un profesor que yo tuve decía: “esas son elucubraciones puramente teoréticas”😜 - Prof. Francisco Poveda