Anónimo
Como comprobar por inducción matemática
Si tengo esta inecuación: n^2≤2^n, ∀n≥4, ¿cómo puedo comprobar que se cumple utilizando el método de inducción?
Respuesta de javicl
Lo compruebas para el primer valor de n.
Si n=4 entonces es fácil comprobar que se verifica pues
$$\begin{align}&4^2=16\\&2^4=16\end{align}$$Suponemos que es cierto para n, es decir,
$$\begin{align}&n^2<=2^2\end{align}$$Veamos que es cierto para n+1, es decir (n+1)^2 <= 2^(n+1)
(n+1)^2=n^2+2n+1
Pero 1<=n pues 4<=n
Entonces (n+1)^2<=n^2+2n+n = n^2 +3n
Pero como 3<=n
(n+1)^2<=n^2+2n+n = n^2 +3n <= n^2 + n ·n = n^2 + n^2 = 2n^2
Como suponíamos que n^2 <= 2^n por hipótesis de inducción concluimos que
(n+1)^2<=n^2+2n+n = n^2 +3n <= n^2 + n ·n = n^2 + n^2 = 2n^2 <= 2· 2^n = 2^(n+1)
Por tanto queda demostrada la propiedad por inducción en n