Cómo obtener el valor de 'x' en la siguiente ecuación? (72^x)+(7^x)=80
Se puede calcular con métodos numéricos pero, ¿cómo se puede resolver algebraicamente?.
Sé que la solución no sale en Google y que son aproximadamente 18 pasos y el récord es en 4 pasos!
2 Respuestas
Así como está escrito no tiene resolución aritmética hasta donde da mi entendimiento. Si embargo, creo que podría tratarse de:
7^(2x) + 7^x = 80; si así fuera:
CDV; u=7^x;
u^2 + u - 80 = 0; Baskara:
[-1+-√(1+80)] / 2;
(-1+-9) / 2; u= (-5); o: u=4; Devuelvo variable:
a) (-5)= 7^x;
ln(-5) = x*ln7;
x= ln(-5)/ln7; Sólo tiene resolución en los Complejos:
x= (ln5 + πi) / ln7
b) 4 = 7^x;
ln4 = x*ln7;
x= ln4/ln7.
Corregido quedaría:
[-1+-√(1+320)] / 2;
(-1+-√321) / 2; Devuelvo variable:
a) (-1-√321)/2= 7^x;
ln[(-1-√321)/2] = x*ln7;
x= ln[(-1-√321)/2] /ln7; Sólo tiene resolución en los Complejos:
x= {ln[(-1-√321)/2] + πi) } / ln7
b) (-1+√321)/2 = 7^x;
ln[(-1+√321)/2] = x*ln7;
x= ln[(-1+√321)/2] / ln7.
Gracias a Gustavo por corregir mi error.
Como bien decís, este tipo de ejercicios se suelen resolver por métodos numéricos, uno de ellos es el método de Newton-Raphson el cual para calcularlo necesitas tener la función y la derivada, en este caso sería:
$$\begin{align}&f(x) = 72^x+7^x-80\\&f'(x) = 72^x \cdot ln(72)+7^x\cdot ln(7)\\&\text{Y la expresión recursiva es:}\\&x_{n+1} = x_n - \frac{f(x)}{f'x}\end{align}$$Si vemos la función vemos que para x=1 el resultado es -1, pero para x=2 ya se pasa "muchísimo", así que voy a plantear la expresión y tomaré como valor inicial, justamente x=1
Te dejo las iteraciones del método, calculadas en excel donde efectivamente se obtuvo en cuatro pasos (en realidad fueron 3, pero el cuarto es necesario para confirmar el resultado)
Norberto, la raíz no es correcta, seria raíz de 1 + 320 en lugar de 1 + 80. Salu2 - Anónimo
no, tiene que ver con "Beal conjecture" - Isai
Ok, pero 80 no lo podés escribir como a^b ¿? - Anónimo
Comienzo por decirte que no conocía la Conjetura de Beal, pero "según San Google" pude ver que tienes razón al decir que no se puede escribir 80 = a^b con enteros tal cual se indica en Beal. Por otro lado, x debería ser >2 y 72; 7 y 80 tener un factor primo común, cosa que es imposible. - Norberto Pesce