Desarrollar el siguiente problema propuesto

El gasto se define como el cambio de volumen con respecto al tiempo, y nos dan la función del gasto, es decir G=dV/dt

Ya nos dan el valor de la función de G con respecto al tiempo, despejando dV=Gdt, e integrando nos queda

$$\begin{align}&V=\int \frac{1}{2}\sin(\frac{2 \pi t}{5})dt\\&V=-\frac{5}{4 \pi}\cos(\frac{2 \pi}{5})+ C\end{align}$$

Ahora para hallar C hay que sustituir un valor en V y un valor en t conocidos. Lo que dan en el enunciado solo es una "demostracion" de por que es esa funcion, pero si lo pensamos bien, un valor facil es cuando t=0, que es cuando el ciclo no ha empezado y no has inhalado, por lo que el volumen inhalado es cero

$$\begin{align}&V=-\frac{5}{4 \pi}\cos(\frac{2 \pi}{5})+ C\\&0=-\frac{5}{4 \pi}cos0+ C\\&C=\frac{5}{4 \pi}\\&V=-\frac{5}{4 \pi}\cos(\frac{2 \pi}{5})+ \frac{5}{4 \pi}\end{align}$$