Demostrar que f(x)>g(x) si f y g son continuas, f(x)≠g(x) y f(0)>g(0)
Tengo un problema que dice así: Suponga que f y g son continuas en R (los reales). Probar que si: para toda x perteneciente a R, f(x) ≠ g(x) y f(0) > g(0), entonces para toda x perteneciente a R se tiene que f(x)> g(x).
El problema añade la siguiente sugerencia: f-g es continua en R.
No tengo una idea clara de por dónde empezar, aunque creo que al demostrar que f(x)-g(x) > 0 entonces queda solucionado.
1 Respuesta
Pues usemos la sugerencia, llamemos h(x) = f(x) - g(x)
sabemos que h(x) es continua en R y además que h(0) > 0 (ya que f(0) > g(0))
Supongamos que existe un a perteneciente a R, tal que h(a) < 0
Pero si ocurre eso, entonces tenemos el intervalo [0, a] tal que h(0) > 0 y h(a) < 0 (en caso que a sea negativo el intervalo es [a, 0] pero el ejemplo sirve igual)
Como la función en el intervalo cambia de signo y es continua en dicho intervalo, entonces existe un punto, perteneciente al intervalo (digamos 'c'), tal que h(c) = 0
Pero eso es absurdo, ya que si h(c) = 0, tenemos que
h(c) = 0 = f(c) - g(c), o sea
g(c) = f(c) Pero eso es ABSURDO, ya que por hipótesis f(x) ≠ g(x) para toda x.
El absurdo provino de suponer que existe a, tal que h(a) < 0
Por lo tanto h(a) > 0 para toda a perteneciente a R y tenemos que:
h(a) > 0
f(a) - g(a) > 0
f(a) > g(a) para toda a en R que es lo que queríamos demostrar.
Salu2