Demostrar que f(x)>0 ó f(x) R es continua en (a,b) y f(x)≠ 0
Tengo un problema que dice lo siguiente: Sea f: (a, b)---->R (los reales) continua tal que para toda x que pertenece a (a, b), f(x) ≠ 0. Demostrar que f(x)>0 ó f(x)<0 para toda x perteneciente a (a, b).
Al principio pensé en usar el Teorema del valor intermedio, pero noté que una condición de éste es que el intervalo sea cerrado.
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Creo que directamente se puede demostrar por el absurdo, suponiendo que
$$\begin{align}&\text{Supongamos que}\\&\exists c,d \in (a,b) / c < d \land f(c)\cdot f(d)<0\\&\text{Lo anterior es para decir que la función cambia de signo.}\\&\text{Pero como la función es continua, eso quiere decir que}\\&\exists p \in (c,d) /f(p)=0\\&\\&\\&\end{align}$$Creo que a partir de ahí ya podrás seguirlo solo...
Salu2