Como realizar un ejercicio de Límites trigonométricos
El cual me piden que lo resuelva simplemente con transformaciones a Seno, Coseno y Tangente, nada más.
$$\begin{align}&\lim _{x\to \:\frac{\pi }{2}}\frac{\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}{2x-\pi } \end{align}$$
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Sabemos que tan = sen/cos, dicho esto veamos...
$$\begin{align}&\lim_{x \to \pi/2} \frac{tan(\pi/2 - x)}{2x-\pi}=\lim_{x \to \pi/2} \frac{sen(\pi/2 - x)}{(2x-\pi)\cos(\pi/2 - x)}\\&\text{Cambio de variables}\\&\pi/2-x=u\\&x = \pi/2 \to u=0\\&2x-\pi \to -2u\\&Retomando...\\&\lim_{u \to 0} \frac{sen(u)}{(-2u)\cos(u)}\\&\text{Reacomodo la expresión a límites conocidos}\\&\lim_{u \to 0} \frac{sen(u)}{u}\cdot \frac{1}{-2 \cdot \cos(u)} \to 1 \cdot \frac{1}{-2} \to -\frac{1}{2}\end{align}$$Salu2