Problema de incógnitas en una Circunferencia

La expresión general de la circunferencia es

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Donde (a, b) es el centro de la circunferencia, r su radio

Para lo que tu tienes vamos a completar cuadrados para tratar de llevar esa expresión a algo parecido a lo que escribí más arriba.

Para empezar fijate que pasa cuando intentamos completar cuadrados en tu expresión:

4x^2 - 8x + k^2 + 4y^2 - 16 = 0

(2x - 2)^2 - 4 + k^2 + (2y)^2 - 16

Como ves, las variables 'x', 'y' no están solas sino que están acompañadas de un término (2), eso nos da la sensación que vamos a tener que dividir toda la expresión, para que tanto 'x' como 'y' queden sin términos que la multipliquen, para eso, voy a dividir toda tu expresión por 4.

4 (x^2 - 2x + k^2/4 + y^2 - 4) = 0

Paso el 4 dividiendo y directamente tenemos

x^2 - 2x + k^2/4 + y^2 - 4 = 0

Veamos ahora que podemos hacer con esa expresión, completando cuadrados

(x-1)^2 - 1+ k^2/4 + y^2 - 4 = 0

Acomodando la expresión

(x-1)^2 + y^2 = 5 - k^2/4 

Sabemos que 

5 - k^2 / 4 representa el radio al cuadrado (digamos r^2) y que además nos piden que r sea mayor que 2, por lo tanto esa expresión debe ser mayor que 4 (r^2)

5 - k^2 / 4 > 4

5 - 4 > k^2/4

4 > k^2

|k| < Raiz(4) = 2

O sea es el intervalo entre [0, 2) (si fuese menor o igual el 2 estaría incluido)

En ese intervalo hay infinitas soluciones, veamos las 2 soluciones para k entero

k=0 --> (x-1)^2 + y^2 = 5

k=1 --> (x-1)^2 + y^2 = 5 - 1/4

Salu2