Fijo discontinuo y contrato con otra empresa

Tengo contrato de fijo discontinuo 10 meses con una empresa. El mes de junio me contrata otra empresa (que me dice mi jefe que es lo mismo pero está a nombre de otra persona) en concepto de que este mes hacemos otro tipo de actividad. Mi contrato es de profesora y me cambia a monitora. El sueldo no me lo toca.
¿Esto tiene repercusión en mi actividad profesional?
¿Me tendría que pagar un finiquito al darme de baja de la empresa que estoy y contratarme otra?