Como soluciono esta probabilidad para qué valores de n (2X^4-1/X^2)^n tienen un término independiente de x

Para n = 3, 6, 9, 12, ... (incluso podrías incluir n=0)

Fijate que la expresión general de un binomio a la n es

$$\begin{align}&(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k} y^k={n \choose 0}x^n + {n\choose 1} x^{n-1} y+{n\choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n\choose n-1}xy^{n-1} + {n\choose n} y^n\\&\text{En este caso...}\\&(2x^4-\frac{1}{x^2})^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}(2x)^{n-k} (-\frac{1}{x^2})^k\\&\text{Cuando n sea múltiplo de 3, habrá un término, que será de la forma}\\&\frac{a x^{2n}}{x^{2n}} (a>0)\\&\text{luego te dejo el link donde podrás calcular estos valores}\\&\text{Analizando la expresión de la sumatoria, tenemos que para n=3m}\\&{3m \choose k}(2x)^{3m-k} (-\frac{1}{x^2})^k = \frac{a x^{2(3m)}}{x^{2(3m)}} (a>0, 0 \le k \le 3m)\\&\color{red} {\frac{(3m)!}{(3m-k)!k!} 2^{3m-k}} x^{3m-k} \frac{(-1)^k}{x^{2k}} = a ...(a>0, 0 \le k \le 3m)\\&\text{La expresión en rojo es un número y no afecta a lo que estamos buscando }\\&\text{asi que la voy a reemplazar por 'b' (de hecho es lo que termina dando 'a')}\\&\text{Además sabemos que la expresión es positiva, así que todo queda}\\&\color{red} {b} \cdot  x^{3m-k} \frac{1}{x^{2k}} = a ...(a>0, 0 \le k \le 3m)\\&\text{En particular, para k=m}\\&\color{red} {b} \cdot  x^{3m-m} \frac{1}{x^{2m}} =b\end{align}$$

Simplificador de expresiones

Salu2