Calcular la integral de superficie(calculo vectorial)
¿Cómo encontrar la integral de superficie para este problema?
Respuesta de Alejandro Salazar
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Tenemos una esfera que es una superficie cerrada, por lo que podemos aplicar el teorema de la divergencia .
$$\begin{align}&\nabla.F=(\partial_x,\partial_y,\partial_z).(y^2,x^2,z^2)=2z\\&\\&\int \int \int _V \nabla.F dx \,dy \;dz\\&\text{Vamos a usar coordenadas esfericas}\\&x^2+y^2+z^2=4\\&\\&x=\rho \cos \theta \sin \varphi\\&y=\rho \sin \theta \sin \varphi\\&z=\rho \cos \varphi\\&\rho^2=4\\&\rho=2\\&0< \rho<2\\&0< \theta<2 \pi\\&0< \varphi<\pi\\&\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} 2 \rho \cos \varphi \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d \varphi \, d \theta=\\&2 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} \rho^3 \cos \varphi \sin \varphi \, d\rho \, d \varphi \, d \theta=\\&4 \pi \frac{\rho^4}{4}\bigg]_{0}^{2}\frac{\sin^2 \varphi}{2}\bigg]_{0}^{\pi}=0\\&\end{align}$$
