Problema de estadística de probabilidad aleatoria
Solicito ayuda de un experto en matemáticas o estadísticas para hallar la probabilidad de acierto en los siguientes 2 ejemplos, dando como resultado que método tendría mas porcentaje de acierto:
Sorteo 1: sorteo de 2 balotas separadas, la primera indica el numero de tabla y la segunda el numero de boleto:
Hay un sorteo dividido en 50 tablas
Cada tabla tiene 4 boletos. Para un total de 50 tablas x 4 boletos= 200 posibilidades de acertar..
La tabla #1 estaría dividido en 1-2-3-4, la tabla #2 igualmente estaría dividido en 1-2-3-4 y así sucesivamente hasta la tabla #50.
Solamente podemos obtener 1 boleto de cada tabla, osea, podriamos comprar de la tabla #1 el boleto 1, de la #2 el boleto 3, de la #3 el boleto 1 o la que escogieses. Si compras un boleto por cada tabla que son 50, quedarías con 50 oportunidades de acertar.
El sorteo se divide en primera etapa, con una balota que indica la tabla, que en este caso serian 50 balotas de el 1 al 50, y una segunda balota que es la que indica el numero ganador de el boleto que en este caso serian 4 balotas que van del 1 al 4
1. ¿Cuál es la probabilidad de acierto si se comprase solo un boleto de una sola tabla?
2. ¿Aumenta la probabilidad si se compra un boleto por cada tabla y cual seria el porcentaje de acierto por todos los 50 boletos?
*** sorteo numero 2****
Este al igual que el primero también consta de 2 balotas,
Pero este esta dividido en solo 10 tablas
Cada tabla tiene 20 boletos. Para un total de 10 tablas x 20 boletos= 200 posibilidades de acertar..
La tabla #1 estaría dividido en (1-2-3-4-5"hasta el boleto.20"), la tabla #2 igualmente estaría dividido en (1-2-3-4-5"hasta el boleto.20") y así sucesivamente hasta la tabla #10.
Pero de este podemos obtener hasta 5 boletos de cada tabla, osea, podriamos comprar de la tabla #1 los boletos ("5 boletos del 1 al 20), de la #2 el boleto ("5 boletos del 1 al 20), y asi sucesivamente. Si compras 5 boletos por cada tabla que son 10, quedarías con 50 oportunidades de acertar.
El sorteo se divide en primera etapa, con una balota que indica la tabla, que en este caso serian 10 balotas del 1 al 10, y una segunda balota que es la que indica el numero ganador de el boleto que en este caso son 20 balotas de el 1 al 20
1. ¿Cuál es la probabilidad de acierto si se comprase 5 boletos de una sola tabla?
2. ¿Aumenta la probabilidad si se compran 5 boletos por cada tabla y cual seria el porcentaje de acierto por todos los 50 boletos?
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Como pueden ver, ambos problemas constan de 2 preguntas iguales..
Ambos problemas tienen las mismas cantidades de boletos comprados y la misma cantidad de resultados probablemente a salir, pero varía su composición.
1 Respuesta
Como bien dices, ambos problemas tienen preguntas iguales (y, de hecho, son muy parecidos), por lo que te voy a desarrollar el primero y en base a ese ejercicio intenta resolver el segundo
En concreto las preguntas son:
1. ¿Cuál es la probabilidad de acierto si se comprase solo un boleto de una sola tabla?
2. ¿Aumenta la probabilidad si se compra un boleto por cada tabla y cual seria el porcentaje de acierto por todos los 50 boletos?
1. Tenemos 2 eventos que son:
a) Seleccionar una tabla
b) Seleccionar un boleto
La probabilidad de seleccionar la tabla es de 1 en 50
La probabilidad de seleccionar el boleto es de 1 en 4
Como ambos eventos son independientes, la probabilidad total es el producto de ambas, o sea 1/50 * 1/4 = 1/200
2) Si comprás 1 boleto en cada tabla (y solo quieres 1 acierto) entonces la probabilidad aumenta y muchísimo, pero la forma de calcularlo ahora más simple (para no cometer errores) es ir por el complemento.
Nota: acá me voy a detener un rato para explicarte por que voy por el complemento.
La tentación es decir que la probabilidad es 1/4 que es la probabilidad de acertar en 1 tabla, pero también están las otras tablas y ahora ya no puedes usar el argumento anterior, porque sino sería 1/4 + 1/4 + 1/4... así 50 veces lo que daría un número mucho mayor que 1 (cosa que por supuesto está mal, ya que estamos hablando de probabilidad). ** (mira la explicación al final)
Dicho lo anterior vemos que en una tabla si la probabilidad de acertar es 1/4, entonces la de perder es 3/4 y lo que me están preguntando es la negación de 'Cuál es la probabilidad de NO acertar ningún boleto?'
Si lo pensamos de esta forma ahora tenemos 3/4 en cada tabla y son 50 tablas, por lo que la probabilidad total será 3/4 * 1/50 = 3/200
Pero ese número es la de no acertar en ninguna, por lo que la probabilidad de SI hacerlo es
1 - 3/200 = 197 / 200 (como ves, es una probabilidad muy alta, pero siempre menor a 1
La segunda parte de la pregunta dice
¿cuál seria el porcentaje de acierto por todos los 50 boletos?
Y ahora si, para acertar los 50 boletos entonces lo podemos calcular directamente y es
1/4 * 1/4 * ... * 1/4, así 50 veces que es lo mismo que:
(1/4) ^ 50 no pongo el resultado porque es casi 0, pero hazlo con la calculadora para que veas
** El problema es que cuando hacemos 1/4 + 1/4, etc estamos contando varias veces las misma chance. Por ejemplo, para simplificar supongamos que tengo solo 2 tablas:
Tabla 1: 1, 2, 3, 4
Tabla 2: 1, 2, 3, 4
El ejercicio dice que compro un boleto en cada tabla (digamos que compré el (1,4) 1 en la tabla 1 y 4 en la tabla 2)
Ahora veamos las opciones que hay
(1 - 1) (1 - 2 ) (1 - 3) (1 - 4)
(2 - 1) (2 - 2 ) (2 - 3) (2 - 4)
(3 - 1) (3 - 2 ) (3 - 3) (3 - 4)
(4 - 1) (4 - 2 ) (4 - 3) (4 - 4)
En negrita cursiva puse las opciones ganadoras que son 7 y las opciones totales son 16, por lo que la probabilidad es 7/16
Sin embargo si hacemos el cálculo anterior, daría 1/4 + 1/4 = 1/2 que también lo podemos ver como 8/16 (mayor a 7/16) y este incremento en la probabilidad se debe a que el elemento (1-4) lo estamos contando 2 veces, ya que lo contamos como acierto por tener el 1 en la tabla 1, pero también como acierto por tener el 4 en la tabla 2 y este es el problema en contar de esta forma
Salu2
Ok entiendo en algo lo que me has explicado, pero no se si me entendiste de pronto mal. En el primer ejemplo hay 50 tablas y cada una con 4 posibilidades de salir, como son 2 balotas, la primera da como resultado la tabla y la segunda el boleto que se divide en 4 partes,
Su yo multiplico la cantidad de opciones a salir me da un total de 200 posibilidades, porque hay 50 (tablas) por 4 (boletos) = 200
1. Si yo comprase solo un bótelo de una tabla cualquiera; ej; tabla "1" boleto "4"
entonces seria 1/200= 0.005 posibilidades de acertar
2. Y si comprase 50 boletos, repartidos en un boleto por cada tabla 50/200=0.25
Espero ser claro y darme a entender.. mil gracias por sacar tiempo para esta pregunta :)
Respecto a la 1 te da lo mismo que a mí.
Respecto a la 2 veo lo que hiciste pero no creo que esté bien, ya que vos estás asumiendo que están todos los boletos en una sola bolsa, pero esto no es correcto
Hola gustavo,
Muchas gracias por responder, te cuento que en la parte 2 sigo algo confundido, me da vergüenza no entender ya que me lo estas mostrando de una manera sencilla, pero aun no la agarro.
Tal vez estoy confundido en esta parte; tu me dices que la simplifiquemos en solo 2 tablas para hacerlo más cómodo y más corto, hasta allí entiendo,
Aquí me dices lo siguiente:
"El ejercicio dice que compro un boleto en cada tabla (digamos que compré el (1,4) 1 en la tabla 1 y 4 en la tabla 2)"
Cuando dices que en que en la tabla 1 compras el (1,4) doy por sentado que compras el boleto #4 de la tabla 1.. y de en la tabla 2 compras el boleto #2.
Osea tendríamos 2 boletos.
Pero me confunde esta parte:
Ahora veamos las opciones que hay
(1 - 1) (1 - 2 ) (1 - 3) (1 - 4)
(2 - 1) (2 - 2 ) (2 - 3) (2 - 4)
(3 - 1) (3 - 2 ) (3 - 3) (3 - 4)
(4 - 1) (4 - 2 ) (4 - 3) (4 - 4)
En negrita cursiva puse las opciones ganadoras que son 7 y las opciones totales son 16, por lo que la probabilidad es 7/16
Si solo tenemos 2 tablas y cada tabla tiene 4 boletos, ¿por qué dices que hay 16 opciones?
no seria 2x4=8
Ya que en este caso el resultado lo dan 2 balotas, la primera solo serian 2 posibilidades, y la segunda serian solo 4 ya que cada tabla tiene la misma cantidad de boletos con los mismos números (1-2-3-4).
Mil gracias quedo muy atento. :)
Gustavo no se si tal vez yo confunci con esta pregunta :
¿cuál seria el porcentaje de acierto por todos los 50 boletos?
lo que quiero decir con esto no es que yo quiera acertar 50 boletos.. lo que quiero decir es que si compro 50 boletos (osea 1 boleto x cada tabla) cual seria la probabilidad de acertar. pero no los 50 boletos porque el sorteo es 1. quedando como resultado ejemplo: 3:4 , donde 3 es la tabla y 4 el boleto.
entonces seria imposible acertar los 50 boletos comprados, solo seria posible acertar uno, solo que si adquiero los 50 cuanto seria la porbabilidad de acertar.
lo aclaro porque leo esta parte de tu respuesta
Y ahora si, para acertar los 50 boletos entonces lo podemos calcular directamente y es
mil gracias ;)
esta parte no encuentro de donde sale el 197/200 en la operación... entiendo que la probabilidad de que no salga es de 3/4 ya que seria el resultado de 3/4*1/50= si multiplico 3*1 y 4*50 alli esta el 3/4 que es la probabilidad de que no acertar, pero cuando sigues abajo no entiendo de donde sale el resultado.
y siendo ese el resultado seria 0.985 posibilidades de acertar? que pasando a porcentaje seria 98.5% si se comprase un boleto por cada tabla?
gracias gustavo espero no estar muy perdido :P
1 - 3/200 = 197 / 200 (como ves, es una probabilidad muy alta, pero siempre menor a 1
Ahora me perdí con todo lo que hiciste, las preguntas iniciales eran:
1. ¿Cuál es la probabilidad de acierto si se comprase solo un boleto de una sola tabla?
2. ¿Aumenta la probabilidad si se compra un boleto por cada tabla y cual seria el porcentaje de acierto por todos los 50 boletos?
De la 1 creo que estamos alineados, respecto a la 2 como yo lo veo hay dos preguntas, pero si tu dices que es una sola entonces fijate si puedes replantear esta pregunta.
Respecto al ejemplo que te di yo con solo dos tablas, cuando decía (1,4) me refería a que en la primer tabla compro el boleto 1 y en la segunda tabla el boleto 4, pero si querés esta parte dejala para más adelante así no enredamos el asunto...
Ok tienes razón. Tal vez no supe formular mi segunda pregunta, lo que equiero saber es ¿cuál es la probabilidad si compro un boleto por cada tabla? "osea compraría 50 boletos en total, ya que son 50 tablas"
Creo que la respuesta esta en donde me dices que el resultado es 197/200
Pero no entendí de donde salio el resultado
1 - 3/200 = 197 / 200 (como ves, es una probabilidad muy alta, pero siempre menor a 1
Mil gracias gustavo, disculpa si no te he entendido.. ;)
O sea que vas a comprar un boleto de cada tabla y con que aciertes aunque sea en un caso ya ganaste (voy a trabajar con ese caso).
Te di el ejemplo que no sirve contar los aciertos porque estaríamos repitiendo casos. En realidad hay un cálculo que dice
$$\begin{align}&P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\end{align}$$Porque los elementos que están en la intersección los estamos contando 2 veces. Pero eso que te dije es para 2 conjuntos, en este caso tendrías 50 conjuntos y hacerlo de esta forma se hace inmanejable, por eso te digo que en lugar de encararlo por ese lado lo podemos pensar como que
P(Acierto) = 1 - P(NO acierto)
Y la probabilidad de NO acierto si la podemos calcular 'fácil' ya que esa sí sería 3/4 (que es la probabilidad de errar en una tabla por 1/50 que es la probabilidad de elegir la tabla, por lo que
P(No acierto) = 3/4 * 1/50 = 3/200
Por lo tanto
P(Acierto) = 1 - 3/200 = 197/200
No sé si ahora está un poco más claro, sino avisa y le buscamos otra vuelta