Carlos tiene cierta cantidad de tarjetas para jugar. Si las reparte entre el y un amigo sobra una, si la reparte entre el y dos

Voy a usar aritmética modular, algunas cosas que hay que saber (no se si las sabes, puede ser que si pero para que nos entendamos)

$$\begin{align}&a \equiv b \mod n\\&\text{Significa que si divides a entre n te queda resto b}\\&\text{Por lo que a tiene la forma }  a=nk+b  \ \text{,VAMOS A HACER USO DE ESTO }\\&\text{Donde k es un entero cualquiera, como puedes tomar cualquier}\\&\text{valor de k hay infinitas soluciones (tiene sentido porque hay varios}\\&\text{numeros que dejan el mismo resto)}\\&\text{Vamos a ver algunas operaciones que voy a usar con numeros}\\&\\&1)\text{Suma,resta}\\&\\&x+1 \equiv 3 \mod 4\\&x+1-1 \ \equiv 3-1 \mod 4\\&x \equiv 2 \mod 4\\&2)\text{Simplificacion}\\&7x \equiv 2 \mod 6\\&\text{A la derecha tenemos un numero multiplo de 7}\\&\text{7 da como resto 1 en mod 6 por lo que una ec equivalente es}\\&1x \equiv 2 \mod 6\\&x \equiv -1 \mod 6\\&x \equiv 5-6 \mod 6\\&x \€quiv 5 \mod 6\\&\\&3) \text{Division(Esta es la que tiene un gran pero)}\\&\text{Digamos que tenemos una ec de la forma } ax \equiv b \mod n\\&\text{Primero debemos ver si el maximo comun divisor entre a y b es 1} \\&\text{En ese caso no hay problema}\\&5x \equiv 10 \mod 4\\&x \equiv 2 \mod 4\\&\text{Si el mcd no es 1, hay que ver si  b es divisible entre a, si no lo es, no hay solucion}\\&\text{Si lo es, tambien debes dividir el mod por a}\\&6x \equiv 24 \mod 18 \\&x \equiv 0 \mod 9\\&\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&x= \text{numero de cartas}\\&\\&x \equiv 1 \mod 2\\&x \equiv 1 \mod 3\\&x \equiv 1 \mod 4\\&x \equiv 0 \mod 5\\&\\&\text{ De la primera concluimos que } x=2n+1\\&\text{n es un entero}\\&\\&x \equiv 1 \mod 3\\&\\&2n+1 \equiv 1 \mod 3\\&2n \equiv  0 \mod 3\\&n  \equiv 0 \mod 3\\&n=3k+0\\&x=2n+1=6k+1\\&\\&x \equiv 1 \mod 4\\&6k+1 \equiv 1 \mod 4\\&6k \equiv 0 \mod 4\\&3 k \equiv 0 \mod 2\\&k \equiv 0  \mod 2\\&k=2r+0\\&x=6k+1=12r+1\\&\\&x \equiv 0 \mod 5\\&12r+1 \equiv 0 \mod 5\\&12r \equiv -1 \mod 5\\&2 r \equiv 4 \mod 5\\&r \equiv 2 \mod 5\\&r=5v+2\\&x=12r+1=12(5v+2)+1=60v+25\\&\end{align}$$

Hay infinitas soluciones(para cada valor de v), pero si queremos el mas pequeno hacemos v=0 y nos queda 25, 25 cartas repartidas entre 2 personas nos sobra 1, lo mismo con 3 y 4 personas (Contando a carlos), y repartidas entre 5 no nos sobra nada